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ベクトル解析における演算子 ∇（ナブラ）

ベクトル解析における演算子 ∇（ナブラ、英: nabla、del）は、ベクトル微分演算を表す記号です。特に、1次元の領域で定義された関数に適用すると、微分積分学における通常の微分 d/dx と同じ結果が得られます。しかし、多次元の領域で定義された場に対しては、スカラー場の勾配 (grad)、ベクトル場の回転 (curl)、発散 (div) といった、より複雑な演算を表現するために用いられます。

∇は単なる演算子ではなく、これらの演算を簡潔に記述するための記号と考えるべきです。∇を偏微分演算子を成分とするベクトルとみなすことで、勾配、発散、回転は、場と∇の形式的なスカラー倍、内積、外積として表現できます。ただし、これらの形式的な積は、他の演算子や積と可換であるとは限りません。

定義

3次元デカルト座標空間 R³ において、座標 (x, y, z) を持つ場合、∇ は偏微分演算子を項とするベクトルとして以下のように定義されます。

∇ = (∂/∂x)x̂ + (∂/∂y)ŷ + (∂/∂z)ẑ

ここで、x̂, ŷ, ẑ はそれぞれ x, y, z 方向の単位ベクトルです。

n次元ユークリッド空間 Rn では、座標を (x₁, x₂, ..., xn) とすると、∇ は以下のように一般化できます。

∇ = Σ[i=1 to n] (∂/∂xi)êᵢ

ここで、{êᵢ : 1 ≤ i ≤ n} は標準基底です。

アインシュタインの縮約記法を用いると、∇ はより簡潔に以下のように書けます。

∇ = êⁱ ∂ᵢ

他の座標系（例えば、円柱座標系や球座標系）における∇の表現については、関連する資料を参照してください。

記号的な用法

∇ は、数式を簡略化するために用いられることが多く、勾配、発散、回転、方向微分、ラプラス作用素などの表現に活用されます。

勾配 (Gradient)

スカラー場 f のベクトル微分は勾配と呼ばれ、以下のように表されます。

grad f = (∂f/∂x)x̂ + (∂f/∂y)ŷ + (∂f/∂z)ẑ = ∇f

勾配は、f の最も増加する方向を示すベクトル場であり、その大きさは最大増加率を表します。∇を用いた記法は、1次元の微分と同様の積の規則が成り立つため、非常に便利です。

∇(fg) = f∇g + g∇f

ただし、スカラー積に関する積の規則は、簡略化することはできません。

∇(u⋅v) = (u⋅∇)v + (v⋅∇)u + u×(∇×v) + v×(∇×u)

発散 (Divergence)

ベクトル場 v(x, y, z) = vx x̂ + vy ŷ + vz ẑ の発散は、以下のように表されるスカラー場です。

div v = ∂vx/∂x + ∂vy/∂y + ∂vz/∂z = ∇⋅v

発散は、ベクトル場がその点から発散するか、収束するかの傾向を測る量です。∇記法を用いることで、積の規則が以下のように簡潔に記述できます。

∇⋅(fv) = f(∇⋅v) + v⋅(∇f)

ただし、ベクトル積に対しては、直観とは異なる以下のようになります。

∇⋅(u×v) = v⋅(∇×u) - u⋅(∇×v)

回転 (Curl)

ベクトル場 v(x, y, z) = vx x̂ + vy ŷ + vz ẑ の回転は、以下のように表されるベクトル場です。

curl v = (∂vz/∂y - ∂vy/∂z)x̂ + (∂vx/∂z - ∂vz/∂x)ŷ + (∂vy/∂x - ∂vx/∂y)ẑ = ∇×v

回転は、各点における風車のトルクに比例し、ベクトル場の回転の度合いを示します。ベクトル積演算は、以下のように行列式を用いて視覚化できます。

∇×v = | x̂ ŷ ẑ |

∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z
vx vy vz

回転についても、積の規則は以下のようになります。

∇×(fv) = (∇f)×v + f(∇×v)

しかし、ベクトル積は簡単にならず、以下のようになります。

∇×(u×v) = u(∇⋅v) - v(∇⋅u) + (v⋅∇)u - (u⋅∇)v

方向微分

スカラー場 f(x, y, z) の方向 a(x, y, z) への方向微分は、以下のように表されます。

a⋅grad f = ax(∂f/∂x) + ay(∂f/∂y) + az(∂f/∂z) = (a⋅∇)f

方向微分は、場 f の a 方向への変化量を示します。この記法は流体力学で頻繁に用いられます。

ラプラス作用素

ラプラス作用素は、ベクトル場にもスカラー場にも適用できるスカラー作用素です。直交座標系では以下のように表されます。

Δ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z² = ∇⋅∇ = ∇²

ラプラス作用素は、ラプラス方程式、ポアソン方程式、熱方程式、波動方程式、シュレーディンガー方程式など、数理物理学に広く現れます。

テンソル微分

ベクトル場 v のテンソル微分は、以下の二階テンソルで表されます。

∇⊗v

この量は、空間に対するベクトル場のヤコビ行列の転置に等しく、ベクトル場の変位を計算する際に用いられます。

積の法則

∇演算子に関する積の法則を以下にまとめます。

∇(fg) = f∇g + g∇f
∇(u⋅v) = u×(∇×v) + v×(∇×u) + (u⋅∇)v + (v⋅∇)u
∇⋅(fv) = f(∇⋅v) + v⋅(∇f)
∇⋅(u×v) = v⋅(∇×u) - u⋅(∇×v)
∇×(fv) = (∇f)×v + f(∇×v)
∇×(u×v) = u(∇⋅v) - v(∇⋅u) + (v⋅∇)u - (u⋅∇)v

二階微分

∇ を2回適用すると、以下のような二階微分演算が可能です。

div(grad f) = ∇⋅(∇f)
curl(grad f) = ∇×(∇f)
Δf = ∇²f
grad(div v) = ∇(∇⋅v)
div(curl v) = ∇⋅(∇×v)
curl(curl v) = ∇×(∇×v)
Δv = ∇²v

これらの演算は、常に独立ではなく、互いに等しい場合やゼロになる場合があります。

curl(grad f) = ∇×(∇f) = 0
div(curl v) = ∇⋅(∇×v) = 0
div(grad f) = ∇⋅(∇f) = ∇²f = Δf

また、残りの3つのベクトル微分には以下の関係が成り立ちます。

∇×∇×v = ∇(∇⋅v) - ∇²v

さらに、テンソル積を用いて以下のように表すことができます。

∇(∇⋅v) = ∇⋅(∇⊗v)

注意点

∇ を含む式の計算においては、∇ が単なるベクトルではなく、微分演算子であるという点に注意が必要です。

∇ は、他のベクトルで置き換えても成り立つ恒等式を得られることがありますが、逆は必ずしも成り立ちません。
∇ は可換でないため、演算の順序に注意が必要です。
∇ を含む恒等式の導出は、ベクトルの恒等式と微分の恒等式の両方に基づいて慎重に行わなければなりません。

参考文献

Schey, H. M. (1997). Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus. New York: Norton. ISBN 0-393-96997-5
Miller, Jeff, Earliest Uses of Symbols of Calculus, http://jeff560.tripod.com/calculus.html
Moler, Cleve (January 26, 1998), History of Nabla, netlib.org, http://www.netlib.org/na-digest-html/98/v98n03.html#2

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