ヘンゼル環

ヘンゼル環とは

ヘンゼル環（Henselian ring）は、数学において特に局所環において重要な役割を果たす構造です。これはKurt Henselにちなんで名付けられたもので、彼が発見したヘンゼルの補題が成り立つ環を指します。大抵の文献では、この環は可換環に限定されて研究されていますが、非可換環に関する理論も存在します。

ヘンゼル環の定義

局所環Rがヘンゼルであるためには、そこに極大イデアルmが存在し、ヘンゼルの補題が成立する必要があります。具体的には、R[x]における単多項式Pが与えられると、(R/m)[x]の中でPの像が持つ任意の分解が、R[x]における分解に持ち上げられることを意味します。また、局所環がヘンゼルであることと、すべての有限環拡大が局所環の直積として表現されることは同値です。このような性質を持つ局所環を「strictly Henselian」と呼ぶことがあります。

ヘンゼル環の特殊な形態として、剰余体が分離的閉である場合に「厳密ヘンゼル環」と呼ばれます。さらに、任意の体に付値が与えられたとき、その付値環がヘンゼルである場合、その体はヘンゼルと見なされることがあります。可換環が有限個のヘンゼル局所環の直積である場合にも、その環はヘンゼルとされます。

代数幾何におけるヘンゼル環

ヘンゼル環は代数幾何の文脈でも重要です。具体的には、Nisnevich位相における「点」としての局所環であり、これによりこれらの環のスペクトルはNisnevich位相々において非自明な連結被覆を持ちません。そして、厳密ヘンゼル環はエタール位相において幾何的な点の局所環として機能します。

ヘンゼル化

任意の局所環Aに対して、そのAからヘンゼル環へと射影される局所射が一意に拡張可能である場合、Aによって生成される普遍的なヘンゼル環Bが存在します。これを「Aのヘンゼル化」と呼び、Nagataによって1953年に提唱されました。Aのヘンゼル化は、特別な同型を除いて一意的なものとされています。これにより、Aのヘンゼル化はAの完備化の代用として考えることができ、Aと同じ剰余体や完備化を持ちます。

さらに、同様にAによって生成される厳密ヘンゼル環も存在し、これは「Aの強ヘンゼル化」と呼ばれます。強ヘンゼル化は厳密に普遍的ではないものの、一意的な構造を持ち、Aの剰余体の分離代数閉包に依存しています。

ヘンゼル環の例

ヘンゼル環の典型的な例として、全ての体がヘンゼル局所環であることが挙げられます。また、完備なハウスドルフ局所環、たとえばp進整数環や体上の形式的冪級数環もヘンゼルであり、実数または複素数に基づく収束冪級数の環も同様です。このように、ヘンゼル局所環に関連する特性を持つものには、代数的冪級数環やヘンゼル環の商も含まれます。特に、局所環のヘンゼル化は常にヘンゼル局所環であることが知られています。

参考文献

より深く理解を求めるためには、以下の文献をご一読ください：

• - Azumaya, G. (1951)「On maximally central algebras」
• - Grothendieck, A. (1967)「Éléments de géométrie algébrique」
• - Nagata, M. (1953)「On the theory of Henselian rings」

これらの文献を通じて、ヘンゼル環の理論やその応用例についてさらに詳しい知見を得ることができます。

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