ベクトルのなす角

ベクトルのなす角：幾何学から抽象空間へ

ベクトルのなす角は、幾何学的には平面や空間上の二つのベクトルの間の角度として直感的に理解できます。しかし、ベクトルの概念は図形にとらわれず、より抽象的な空間へと拡張されます。この抽象的なベクトル空間においても、二つのベクトルのなす角を定義し、計算することが可能です。その際に用いられるのが、ベクトルの内積とノルム（長さ）です。

なす角の定義

零ベクトルでない任意の二つのベクトルxとy のなす角θは、以下の式で定義されます。

θ = Arccos(⟨x, y⟩ / (||x|| ||y||))

ここで、⟨x, y⟩ はベクトル x と y の内積、||x|| と ||y|| はそれぞれベクトル x と y のノルム（長さ）を表します。一般的には、0 ≤ θ ≤ π の範囲で主値をとります。

θが0であれば、二つのベクトルは同じ方向を向いており、一次従属の関係にあります。一方、θがπ/2であれば、二つのベクトルは直交しています。

ベクトルの類似度：コサイン類似度

ベクトルのなす角の余弦、cos θ は、二つのベクトルの類似度を表す指標として用いられます。

cos θ = ⟨x, y⟩ / (||x|| ||y||)

この値は 0 から 1 の間の値を取り、cos θ が1に近いほど、二つのベクトルの向きが一致し、類似していることを示します。逆に、cos θ が0に近いほど、二つのベクトルは直交しており、類似度が低いことを示します。

この類似度の概念は、様々な分野で応用されています。例えば、n個の要素を持つデータをn次元ベクトル空間に表現し、それらのベクトルのコサイン類似度を計算することで、データ間の類似性を定量的に評価することができます。この手法は、特にコサイン類似度（Cosine Similarity）と呼ばれ、文書間の類似度判定などに広く利用されています。

コサイン類似度の高速計算と応用

大量のデータに対してコサイン類似度を高速に計算するアルゴリズムとして、MinHashなどが知られています。MinHashは、高次元のベクトルデータに対するコサイン類似度を効率的に近似計算できるため、大規模なデータセット（例えば、膨大な数の文書）における類似度検索などに効果を発揮します。このように、ベクトルのなす角とコサイン類似度は、情報検索や機械学習など、様々な分野で重要な役割を果たしています。文章間の類似度判定は、検索エンジンのランキングアルゴリズムや、文書の自動分類などに活用されています。

まとめ

ベクトルのなす角は、幾何学的な直感から出発して、抽象的なベクトル空間へと拡張できる重要な概念です。その拡張された概念と、内積やノルムといった数学的ツールを用いることで、ベクトルの類似度を定量的に評価することが可能になります。コサイン類似度はその代表的な指標であり、情報検索や機械学習など、幅広い分野で活用されています。MinHashのような効率的な計算アルゴリズムも開発されており、大規模データへの適用も容易になっています。

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