ベズーの等式

ベズーの等式について

ベズーの等式（英: Bézout's identity）は初等整数論における基本的な定理です。この定理は、与えられた二つの整数の最大公約数をその整数の線形結合として表すことができることを示しています。この等式は、一般にベズーの補題とも呼ばれ、特に整数環の中で広く用いられています。

ベズー係数とその計算

ベズーの等式において、二つの整数 a と b の最大公約数を g とし、整数 x と y が存在して、以下の条件を満たすことができます。

$$ ax + by = g $$

このとき、x と y をベズー係数と呼びます。これらの係数は一意的ではありませんが、拡張ユークリッドの互除法を用いることで計算することが可能です。この方法によって得られるベズー係数の一組は、通常次のように記述されます。

$$ (x + k rac{b}{g}, \, y - k rac{a}{g}) $$

ここで、k は任意の整数です。特に、gcd(a, b) ≠ 0 の場合、すべての組の中から特定の条件に従うものを選ぶこともできます。

ベズーの補題の特性

ベズーの補題は、主イデアル整域においても成り立ちますが、特定の整域では成立しないこともあるため注意が必要です。具体的には、a と b のいずれかが他の約数である場合、インデックスが成立することがあります。この性質は、整数の除法の原理に基づいています。

具体例

例えば、整数 a = 12 と b = 42 の場合について考えます。この時、gcd(12, 42) = 6 です。これを用いて、ベズーの等式を以下のように書くことができます。

1. $$ 12 imes (-3) + 42 imes 1 = 6 $$
2. $$ 12 imes 4 + 42 imes (-1) = 6 $$

ここでは、左辺の異なる組み合わせが6を合計として表現されています。

証明の概要

ベズーの補題の証明は、与えられた整数 a と b に対して、任意の整数の集合 S を考察することから始まります。その要素は形式的に次のように表現できます。

$$ S = \{ ax + by \, | \, x,y \in \mathbb{Z} \} $$

この集合に含まれる最小の正の要素は h であり、その全ての要素は h の倍数になります。この性質から、最終的に ax + by = g となる x と y が存在することが導かれます。

一般化と応用

3つ以上の整数に対してもベズーの等式は拡張可能であり、複数の整数 a1, a2, ..., an がある場合、

$$ gcd(a_1, a_2, \, ext{…}, a_n) = d $$

多くの整数 x が存在して、

$$ d = a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n $$

と表せることが示されます。この一般化は、様々な数学的応用の基盤となります。特に、多項式に対してもベズーの等式が成り立つため、代数学において重要な結果を導くことが可能です。

歴史的背景

この等式はフランスの数学者エティエンヌ・ベズーにより多項式に関して証明されましたが、整数の場合は別のフランス人数学者クロード・バシェが早くからその基礎を築いていました。彼の研究において、互いに素な整数の問題が提起され、それが後のベズーの等式につながっています。

このように、ベズーの等式は整数の性質を探求する上で非常に重要な役割を果たし、数学を学ぶ上での基盤となる理論の一つです。

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