ベルトラン・ダルブーの定理

ベルトラン・ダルブーの定理

ベルトラン・ダルブーの定理は、古典力学における特に2自由度の系の解析において重要な位置を占める定理です。これは、系の運動を記述するハミルトン–ヤコビ方程式が「変数分離可能」であるための条件と、運動量に関する2次の形式で表される「運動の積分」の存在を結びつけています。

理論的背景

ハミルトン–ヤコビ理論では、系の運動方程式を解く代わりに、ハミルトン–ヤコビ方程式と呼ばれる偏微分方程式を解くことを目指します。$n$自由度を持つ自励系（外部からの時間依存性の影響を受けない系）の場合、適切な座標変換 $(x_1, \dots, x_n) \to (u_1, \dots, u_n)$ を行うことで、ハミルトン–ヤコビ方程式の完全解を各座標$u_i$のみに依存する関数の和、すなわち
$$ S(u_1, \dots, u_n; \alpha_1, \dots, \alpha_n) = S_1(u_1; \alpha_1, \dots, \alpha_n) + \dots + S_n(u_n; \alpha_1, \dots, \alpha_n) $$
という形に書けることがあります。このような座標系 $(u_1, \dots, u_n)$ を「分離座標」と呼び、系は「変数分離可能」であると言われます。変数分離可能な系は求積が可能となり、可積分系の重要な一クラスを構成します。ここで、$\alpha_i$ は積分定数であり、自励系においてはエネルギー（ハミルトニアン）をその一つとして選ぶことができます。

定理の主張

ベルトラン・ダルブーの定理は、特にハミルトニアンが運動エネルギーと位置のみに依存するポテンシャルエネルギーの和として与えられる、平面内の粒子運動のような2自由度の系（ハミルトニアンが $H = \frac{1}{2}(p_x^2 + p_y^2) + V(x,y)$ の形）について、以下の3つの条件が互いに同値であることを主張します。

1. 系が、ハミルトニアンとは独立な、運動量 $p_x, p_y$ に関して2次の運動の積分（第一積分）を持つ。
2. 系のポテンシャルエネルギー関数 $V(x,y)$ が、いくつかの定数を含む特定の形の線形偏微分方程式を満たす。
3. 系が、デカルト直交座標、極座標、放物線座標、楕円座標のいずれかの座標系で変数分離可能である。

この定理が示す重要な点は、運動量について2次の積分が存在することで可積分となるような系は、常に上記の4種類の基本的な座標系のいずれかによって変数分離可能であるということです。逆に言えば、これらの4種類以外の座標系で変数分離可能な2自由度系は、運動量について2次の独立な積分を持たないことになります。

ただし、全ての可積分系が運動量について2次の積分を持つわけではありません。例えば、戸田格子のような系は可積分ですが、その独立な積分は運動量について2次ではないため、ベルトラン・ダルブーの定理は適用できません。

分離座標の例

定理に現れる4種類の分離座標について、変数分離が可能となるポテンシャルの一般的な形と、対応する独立な積分の例を挙げます。

直交座標 $(x,y)$: ポテンシャルが $V(x,y) = U_1(x) + U_2(y)$ の形の場合、直交座標で変数分離可能です。独立な積分としては、例えば $\Phi = \frac{1}{2}p_x^2 + U_1(x)$ を考えることができます。

極座標 $(r,\theta)$: $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$ で定義される極座標では、特定の形のハミルトニアン（入力情報参照）の場合に変数分離可能となります。この場合の独立な積分は、角運動量に関連するもの（入力情報参照の $\Phi$ の形）です。

放物線座標 $(\xi, \eta)$: ポテンシャルが $V(x,y) = \frac{1}{r} [U_1(\frac{r+x}{2}) + U_2(\frac{r-x}{2})]$ の形（ここで $r = \sqrt{x^2+y^2}$）の場合に、放物線座標で変数分離可能です。放物線座標は $\xi = r+x, \eta = r-x$ などで定義され、この座標でのハミルトニアンは特定の形（入力情報参照）を取ります。独立な積分（入力情報参照の $\Phi$ の形）が存在します。一様な外力場の中でのケプラー問題（シュタルク効果として量子力学で知られる）がこの例です。

楕円座標 $(\mu,
u)$: x軸上の2つの焦点 $(\pm c, 0)$ から点 $(x,y)$ までの距離を $r_1, r_2$ としたとき、ポテンシャルが $V(x,y) = \frac{1}{r_1} f_1(\frac{r_1+r_2}{2c}) + \frac{1}{r_2} f_2(\frac{r_1+r_2}{2c})$ の形の場合に、楕円座標で変数分離可能です。楕円座標は $\mu = r_1+r_2,
u = r_1-r_2$ などで定義され、ハミルトニアンは特定の形（入力情報参照）を取ります。独立な積分（入力情報参照の $\Phi$ の形）が存在します。重力2中心問題などがこの座標系で解析されます。

応用と歴史

ベルトラン・ダルブーの定理は、未知の系の可積分性を判定する手助けとなります。もしその系が運動量について2次の独立な積分を持つことが示せれば、定理によりそれは必ず上記の4種の座標系で変数分離可能であることがわかります。例えば、特定の4次同次ポテンシャルを持つ系や、一般化されたエノン・ハイレス系の一部の場合に、この定理を用いて変数分離可能性、ひいては可積分性が証明されています。

歴史的には、変数分離可能性に関する研究は19世紀半ばに進められました。ジョゼフ・リウヴィルは1846年に、特定の形のハミルトニアンを持つ2次元リーマン多様体上の運動が求積可能であることを示しました。ジョゼフ・ベルトランは1857年、運動量2次の積分を持つ2次元系においてポテンシャルが満たすべき条件を明らかにしました。そしてジャン・ガストン・ダルブーが1901年、ベルトランが示した条件を満たすポテンシャルに対して、実際に第一積分が存在することを証明し、定理が完成されました。

この定理は、古典力学における解析的な可積分系の構造を理解する上で、基本的な成果の一つとされています。

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