ハミルトン–ヤコビ方程式

ハミルトン-ヤコビ方程式：古典力学の新たな視点

ハミルトン-ヤコビ方程式は、古典力学を記述する複数の定式化（ニュートンの運動方程式、ラグランジュ力学、ハミルトン力学など）と同等な、別の表現方法です。この方程式は、力学系の保存量を効率的に見つけるために特に有用で、問題が完全に解けない場合でも保存量の特定を可能にします。

さらに重要な点は、ハミルトン-ヤコビ方程式が、粒子の運動を波として表現できる唯一の力学の定式化であることです。この観点から、18世紀のヨハン・ベルヌーイ以来の物理学における長年の課題であった、光の伝播と粒子の運動の類似性の解明に成功したと言えるでしょう。この方程式から導かれる波動方程式は、シュレーディンガー方程式と強い類似性を持つため、ハミルトン-ヤコビ方程式は量子力学に最も近い古典力学の記述方法だと考えられています。

数学的定式化

ハミルトン-ヤコビ方程式は、ハミルトンの主関数 S(q₁, ..., qₙ; t) に関する一階の非線形偏微分方程式として表されます。この S は、古典的なハミルトニアン H(q₁, ..., qₙ; p₁, ..., pₙ; t) の正準変換の母関数とみなすことで導き出せます。

ここで、一般化座標 q に対する S の一階微分は、共役な運動量 p に対応します。

pᵢ = ∂S/∂qᵢ

この関係式は、作用の原理から導出できます。作用の変化 δS は、経路のわずかな変化に対して、オイラー-ラグランジュ方程式を満たす経路（実際の運動経路）ではゼロになります。この条件を用いて計算を進めると、上記の運動量とハミルトンの主関数の関係が得られます。

同様に、一般化座標 q は、運動量 p の関数として表すことができ、この関係式を逆に解くことで、系の時間発展、つまり一般化座標の時間依存性を求めることができます。初期状態の位置と速度は S の積分中に定数として現れ、これらは全エネルギー、角運動量、ラプラス-ルンゲ-レンツベクトルなどの保存量に対応します。

その他の力学記述との比較

ハミルトン-ヤコビ方程式は、N 個の一般化座標と時間 t の関数 S に関する一階の偏微分方程式です。特徴的なのは、一般化運動量が S の微分としてのみ現れ、S 自体が古典的な作用に等しいことです。

これに対し、ラグランジュ力学のオイラー-ラグランジュ方程式は、一般化座標の時間発展に関する二階の微分方程式で、共役な運動量は含まれません。ハミルトン正準方程式は、一般化座標とそれに共役な運動量に関する一階の微分方程式系です。

ハミルトン-ヤコビ方程式はハミルトンの原理の積分を最小化する問題と同値であるため、変分問題や力学系、シンプレクティック幾何学、量子カオスなどの幅広い分野で応用されています。例えば、リーマン多様体における測地線の計算にも利用されます。

記法と導出

簡単のため、N 個の一般化座標を太字の変数 q で表します。ハミルトン-ヤコビ方程式の導出は、第二種の母関数 G₂(q, P, t) を用いた正準変換から行われます。新しいハミルトニアン K が恒等的にゼロになるような母関数 S(q, P, t) を用いることで、ハミルトン-ヤコビ方程式が得られます。このとき、新しい一般化座標と運動量は保存量となります。

ハミルトン-ヤコビ方程式を解くことで、一般化座標を時間の関数として表すことができます。

変数分離

ハミルトン-ヤコビ方程式は、変数分離が可能な場合に最も効率的に解くことができます。ハミルトニアンが時間に陽に依存しない場合、時間変数を分離でき、時間微分 ∂S/∂t は定数（通常 -E）になります。

変数分離可能な条件は、ハミルトニアンの形と一般化座標の選び方に依存します。直交座標系でハミルトニアンが時間に依存せず、一般化運動量に関して二次式の場合、ポテンシャルエネルギーが各座標について加法的に分離可能で、各座標のポテンシャルエネルギー項がハミルトニアンの対応する運動項と同じ座標依存性を持つ場合（ステッケルの条件）に、変数分離が可能です。

具体的な例：球座標、楕円柱座標、放物線柱座標

球座標、楕円柱座標、放物線柱座標などの様々な座標系において、ハミルトン-ヤコビ方程式を変数分離し、解く方法を示します。それぞれの座標系でハミルトニアンを記述し、変数分離可能な条件下で、常微分方程式を解くことで、ハミルトンの主関数 S を求めます。

シュレーディンガー方程式との関係

ハミルトン-ヤコビ方程式は、シュレーディンガー方程式と密接に関連しています。ハミルトンの主関数 S を波の位相とみなすと、ハミルトン-ヤコビ方程式はシュレーディンガー方程式の非線形な変種と見なすことができます。逆に、シュレーディンガー方程式の古典極限（ħ→0）は、ハミルトン-ヤコビ方程式に帰着します。

具体例：様々な物理系

非相対論的粒子、相対論的粒子、電磁場中の粒子、重力場中の粒子など、様々な物理系におけるハミルトン-ヤコビ方程式の具体的な形を示します。これらの式は、それぞれの系における運動を記述する基本方程式です。

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