ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理

ボルツァノ–ワイエルシュトラスの定理

数学、特に実解析という分野において、ボルツァノ–ワイエルシュトラスの定理は、有限次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$ における数列の収束に関する非常に基本的な、そして重要な結果です。この定理は、チェコの数学者ベルナルト・ボルツァーノとドイツの数学者カール・ワイエルシュトラスの二人の名が冠されています。

定理の主張

この定理はいくつかの同値な形で述べられますが、最も一般的な表現は「$\mathbb{R}^n$ 内の任意の有界な数列からは、必ず収束する部分列を選ぶことができる」というものです。

別の重要な表現としては、集合論的な視点からの定式化があります。それは「$\mathbb{R}^n$ の部分集合が点列コンパクトであることと、その集合が有界かつ閉集合であることは必要十分条件である」というものです。「点列コンパクト」とは、その集合内の任意の数列から、集合内の点に収束する部分列を選ぶことができるという性質を指します。したがって、この定理は、$\mathbb{R}^n$ における点列コンパクトな集合の特徴づけを与えていると言えます。このため、この定理はしばしば「$\mathbb{R}^n$ の点列コンパクト性定理」とも呼ばれます。

歴史的背景

定理に二人の名前が付いている通り、その発見には二人の数学者が関わっています。しかし、この結果を最初に証明したのはボルツァーノです。彼は1817年に発表した自身の論文で、中間値の定理を証明するための補題としてこの性質を導き出しました。当時は、この結果自体の重要性はそれほど広く認識されませんでした。

それから約50年後、ワイエルシュトラスが独立にこの結果を再発見し、改めてその重要性を示しました。彼の研究を通じて、この定理は実解析における収束理論の基礎をなす本質的な定理として位置づけられるようになり、ボルツァーノとワイエルシュトラスの定理として今日まで伝えられています。

定理の意義と関連

ボルツァノ–ワイエルシュトラスの定理は、$\mathbb{R}^n$ という空間の基本的な性質、特にその「完備性」と「局所コンパクト性」に深く関わっています。有界な閉集合が「コンパクト」であるという性質は、実解析における極限操作や連続関数の性質などを議論する上で不可欠な役割を果たします。

この定理の点列コンパクト性による定式化は、ハイネ–ボレル定理との強い関連性を示唆しています。ハイネ–ボレル定理は、$\mathbb{R}^n$ の部分集合がコンパクトであることと、それが有界かつ閉集合であることが同値であると述べています。一般の位相空間論においては、「コンパクト性」と「点列コンパクト性」は必ずしも一致しませんが、距離が定義できる空間（距離化可能空間）においては、この二つの概念は同値になります。$\mathbb{R}^n$ はユークリッド距離を持つ距離化可能空間であるため、$\mathbb{R}^n$ におけるコンパクト性と点列コンパクト性は一致します。したがって、ボルツァノ–ワイエルシュトラスの定理が述べる「点列コンパクト ⇔ 有界閉集合」という事実は、ハイネ–ボレル定理の主張する「コンパクト ⇔ 有界閉集合」と、$\mathbb{R}^n$ が距離化可能であることによる「コンパクト ⇔ 点列コンパクト」という事実を合わせると、本質的に同じ内容を示していると言えます。

この定理は、実解析における様々な証明、例えば最大値・最小値の定理や一様連続性の議論などにおいても基礎として用いられます。その重要性から、解析学を学ぶ上で避けて通ることのできない基本的な定理の一つとなっています。

もう一度検索