閉集合

幾何学や位相空間論といった数学の分野における閉集合（へいしゅうごう、英: closed set）とは、位相空間における部分集合のうち、その補集合が開集合となるもののことを指します。これは閉集合を特徴づける最も基本的な定義です。

閉集合には他にも同値な定義が複数存在します。位相空間の部分集合がある閉集合であることは、それが自身のすべての極限点（触点）を含むこと、あるいは自身の閉包と一致すること、さらには自身の境界点をすべて含んでいることと同値です。特に距離空間では、集合内の任意の点列が収束する場合、その極限が必ず集合に含まれるという性質を持つ集合として定義することもできます。閉集合はまた、閉包作用素の不動点でもあります。

ただし、多様体が「閉である」という表現とは異なる意味合いで使われるため、注意が必要です。

閉集合は位相構造を理解する上で基本的な性質を持ちます。
任意の個数の閉集合の共通部分は閉集合です。
有限個の閉集合の和集合は閉集合です。
空集合および全体集合は閉集合です。

これらの性質は、閉集合系を定めることで位相空間が定まるという形で、位相構造そのものと深く関連しています。また、これらの性質、特に共通部分に関する性質は、ある集合を包含する最小の閉集合として定義される閉包を構成する際にも用いられます。

閉集合からなる可算集合族の和集合はFσ集合と呼ばれ、必ずしも閉集合ではありません。

具体的な閉集合の例をいくつか挙げます。
実数 $\mathbb{R}$ における閉区間 $[a, b]$ や半直線 $[a, +\infty)$ は閉集合です。
$\mathbb{R}$ における単位区間 $[0, 1]$ は閉集合ですが、有理数 $\mathbb{Q}$ 上で考えた集合 $[0, 1] \cap \mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}$ においては閉でも、$\mathbb{R}$ の部分集合としては閉ではありません。これは、集合が閉であるか否かが周辺の空間に依存することを示しています。
開集合でも閉集合でもない集合（例: $\mathbb{R}$ の半開区間 $[0, 1)$）や、開集合でもあり閉集合でもある開かつ閉集合（連結空間では空集合と全体集合のみ）が存在します。
* T1空間では任意の一点集合 \{x\} が閉集合となります。整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ は $\mathbb{R}$ の閉集合です。

位相空間 Xから Yへの写像 $f: X \to Y$ が連続であることは、Yにおける任意の閉集合の逆像がXにおいて閉集合となることと同値です。

閉集合は点列やより一般的な有向点族による特徴づけも持ちます。集合内の有向点族が収束するならば、その極限が必ず集合に属することと閉集合であることは同値です。距離空間では点列で十分です。

コンパクト空間の閉集合はコンパクトであり、ハウスドルフ空間のコンパクト集合は閉集合です。また、不連結空間は互いに交わらない二つの空でない閉集合の和集合として表される空間です。

このように、閉集合は位相空間論における基本的な構成要素であり、連続性、コンパクト性、連結性など、様々な重要な概念と結びついています。

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