ボレル集合

ボレル集合の概要

数学の分野において、ボレル集合（Borel set）は位相空間の重要な概念の一つです。ボレル集合は、位相空間の開集合または閉集合を用いて、可算回の合併や交差、差分を使って形成される集合であり、その集まりをボレル集合族と呼びます。この用語はフランスの数学者エミール・ボレルに由来しています。

ボレル集合とボレル集合族

任意の位相空間 X に対して、その上のボレル集合族は完全加法族（σ-集合体）であり、ボレル σ-代数と称されます。この族はすべての開集合を包含する最小の完全加法族でもあり、すなわち全ての閉集合も同様です。ボレル集合は測度論において特に重要な役割を果たします。

具体的には、ボレル集合体上で定義された測度は、空間内の開集合または閉集合の値のみから一意に決定され、これをボレル測度と呼びます。また、ボレル集合とその構造は記述集合論の基礎をなします。

ボレル集合の生成

ボレル集合族は、特定の手続きに従って生成されます。初期条件として、ボレル集合族の最初は X のすべての開集合で定義されます。次に、階層的に構成されるボレル集合は、各順序数 α に対して次のルールに従って定義されます。もし α が自然数の場合、ボレル集合は β のボレル集合からの可算合併または補集合の取り方によって得られます。

この過程は極限順序数に対しても適用され、最終的には、ボレル集合族は最小の非可算順序数 ω₁ に基づきます。

ボレル集合の例

実数直線 R 上のボレル集合体 B(R) は、ボレル集合の重要な例であり、これは確率論において特に重要です。このボレル集合体上ではボレル測度が定義されるため、確率分布などがボレル集合体上での測度として表現されます。

ボレル空間とクラトフスキーの定理

ボレル空間とは、特定の完全加法族を持つ集合のことを指します。クラトフスキーの定理によれば、ポーランド空間は特定の条件下で、実数直線や整数などと同型であることが示されています。ボレル空間はその濃度に基づいて定義され、ポーランド空間内でのボレル集合は連続単射として特徴付けられます。

非ボレル集合

ボレル集合でない実数直線の部分集合の例も存在します。特に、特定の無理数の集合やボレル集合として得られないものがあることが知られています。これらの集合は解析集合であり、構成的ではないといった特性を持っています。

まとめ

ボレル集合は、数理的な条件やプロセスを通じて生成される基本的かつ多様な集合のクラスを形成します。その概念は数学のさまざまな分野、特に測度論や記述集合論において欠かせないものです。

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