マーロ基数

マーロ基数の概念

数学において、マーロ基数は巨大基数のひとつです。最初にこの概念を提案したのは、ポール・マーロ（Paul Mahlo）であり、彼は1911年から1913年にかけてその理論を発表しました。マーロ基数は非常に特異な性質を持ち、他の巨大基数と同様に、ZFC（Zermelo-Fraenkel集合論と選択公理）での存在を証明することができません。仮にZFCが無矛盾であると考えるならば、マーロ基数の存在もまた証明不可能です。

マーロ基数の定義

マーロ基数 κ は、次の条件を満たすときに型であると定義されます。
1. 基数 κ は到達不能である。
2. 基数 κ 未満の到達不能集合の集合 U = {λ < κ: λ は到達不能} が κ 内で定常である。

また、基数 κ が弱マーロ基数であるためには、κ が弱到達不能であり、κ 未満の弱到達不能基数の集合も κ 内で定常である必要があります。

マーロ基数に必要な条件

マーロ基数となるための最小限の条件として、もし κ が極限順序数であり、κ 未満の正則順序数の集合が κ 内で定常であれば、κ は弱マーロ基数とされます。この証明の難しさは、κ が正則であることを示すことにあります。もし κ が正則でないと仮定しするならば、特定の club 集合を構成できますが、これは矛盾を引き起こします。従って、基数 κ は正則でなければなりません。

また、κ の定常集合が存在するためには、非可算でかつ正則である必要があります。それ故、マーロ基数は非可算でなければならず、正則基数の正則な極限でもあるため、弱到達不能でもあることが示されます。

マーロ基数の特性

マーロ基数の特性の一つに、弱マーロかつ強極限であれば、κ 自身がマーロ基数であるという点があります。この性質は、基数 κ が弱到達不能であり、強極限であれば強到達不能でもあることを意味します。ここから、κ 未満の非可算強極限基数の集合が κ 内で定常であることも示すことができます。

hyper-到達不能性の証明

マーロ基数である κ について、全ての α ≤ κ に対して超限帰納法を用いることで、κ が α-到達不能であることを証明できます。これは、全ての β < α に対して β-到達不能基数が存在し、さらに κ より小さい基数も含まれることを意味します。このような基数の全体が κ 内で非有界であること、つまり club 集合であることが示されます。したがって、κ のマーロ性に根ざしたこの特性には、到達不能基数が含まれます。この特性は、他の到達不能性の証明にも応用できます。

その他のマーロ基数の耐性

さらに、基数 κ が α-マーロ基数である場合、これは κ がマーロ基数であり、かつ全ての β < α に対して κ 以下の β-マーロ基数の集合が κ 内で定常であることを示します。さらに「hyper-マーロ」や「弱-α-マーロ」といったその他のタイプの定義も同様に可能です。これらの性質は、数学的な宇宙の内部モデルに置き換える際にも保たれます。

参考文献

このトピックに関する詳細な研究や論文は以下の文献を参照してください：

• - Drake, F. R. (1974). Set Theory: An Introduction to Large Cardinals.
• - Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings.
• - Mahlo, Paul (1911-1912). 論文シリーズ「Über lineare transfinite Mengen」と「Zur Theorie und Anwendung der ρ0-Zahlen」など。

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