定常集合

定常集合：集合論とモデル理論における多様な解釈

数学、特に集合論とモデル理論において、「定常集合」という用語は、複数の異なる意味を持つため注意が必要です。本稿では、その主要な3つの解釈について詳細に解説します。

1. 古典的な定常集合

古典的な意味において、定常集合は非可算な共終数を持つ基数κの部分集合Sとして定義されます。Sがκ内の定常集合であるとは、κの任意のclub集合（閉且つ非有界集合）と交わることを意味します。Sがκの任意のclub集合と交わらない場合、Sを非定常集合と呼びます。

重要な性質として、定常集合Sとclub集合Cの共通部分S∩Cもまた定常集合となります。これは、2つのclub集合の共通部分がclub集合であるという性質から導かれます。共終数が可算な基数の場合、定常集合の定義は、補集合が有界集合となることと同値になります。この古典的な定義は、無意味な集合を除外するために、非可算な共終数を持つ基数に限定されています。

正則基数κとその定常部分集合Sにおいて、Sはκ個の互いに交わりのない定常集合に分割できるというソロヴェイによる重要な結果があります。特にκが後続型基数の場合は、ウラム行列を用いて容易に証明できます。

2. イェフによる定常集合

イェフによる定常集合の定義は、集合Xの濃度λの部分集合全体[X]^λの部分集合Sに拡張されています。ここで、[X]^λはXの部分集合で濃度がλであるものの集合です。Sが[X]^λ内で定常であるとは、[X]^λの任意のclub集合と交わることを意味します。この文脈におけるclub集合は、部分集合の包含関係に関して非有界であり、λ以下の長さの鎖の合併で閉じている集合として定義されます。

古典的な定義とイェフによる定義は一般的には異なりますが、X=ω₁（最小の非可算順序数）かつλ=ℵ₀（可算濃度）の場合、S⊂[ω₁]^ωが定常であることと、S∩ω₁がω₁内で定常であることは同値になります。フォドアの補題はこの拡張された定義においても同様に適用可能です。

3. 一般化された定常集合

3つ目の解釈は、モデル理論に由来する一般化された定常性です。この概念はMagidor、Foreman、シェラハらによって導入され、ウッディンによって大きく発展しました。

この定義では、空でない集合Xのべき集合P(X)の部分集合Cがclubであるとは、Xの有限部分集合全体からXへの関数Fが存在し、Cが特定の条件を満たす集合として定義されます。具体的には、C={z:F[[z]^<ω]⊂z}という形になります。ここで[z]^<ωはzの有限部分集合全体の集合です。

P(X)の部分集合SがP(X)内で定常であるとは、P(X)の全てのclub集合と交わることを意味します。モデル理論との関連では、可算言語上の構造Mとそのスコーレム関数Fに対して、定常集合SはMの初等部分構造を含みます。SがP(X)内で定常であることと、任意のこのような構造Mに対してMの初等部分構造がSに属することは同値になります。

関連概念

フォドアの補題
club集合
* ダイヤモンド原理

これらの概念は、定常集合の理解を深める上で重要な役割を果たします。定常集合は集合論やモデル理論における高度なトピックであり、その研究は現代数学の重要な一部を成しています。様々な分野に影響を与え続けている奥深い概念であると言えるでしょう。

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