ミラーの立体

ミラーの立体について

ミラーの立体（英: Miller solid）、または擬斜方立方八面体（英: Pseudorhombicuboctahedron）とは、37番目のジョンソンの立体として知られています。これは、斜方立方八面体（切頂菱形十二面体）の上部を45度回転させることによって形成される特徴的な形状です。

特徴と構造

この立体は、同じ面の数と種類、そして頂点の形状を持ちながら、特徴的に斜方立方八面体とは異なる姿をしています。このため、視覚的には少し異なる印象を与えます。ミラーの立体は、幾何学における美しい形の一例として、数理的な興味を引きます。

性質

表面積

ミラーの立体の表面積は、一辺の長さを「a」とした場合、次のように表されます。

$$S = (18 + 2
oot{3}) a^2$$

体積

また、体積は以下の式によって求めることができます。

$$V = rac{12 + 10
oot{2}}{3} a^3$$

外接球半径

外接球の半径は、一辺の長さを2としたとき次のようになります。

$$R =
oot{5 + 2
oot{2}}$$

これらの性質から、ミラーの立体は固体の幾何学的性質を深く理解するうえで、興味深い対象となります。

半正多面体との関係

通常、この立体は正多面体と同じ対称性を持っていないため、半正多面体には分類されません。しかし、すべての頂点の形状が同じであるため、半正多面体の性質も持っています。具体的に「頂点推移的である」という条件を求めると、ミラーの立体はこの条件を満たさないため、真の意味での半正多面体とは見なされません。

特筆すべきは、ミラーの立体の双対形状です。これは、斜方立方八面体の双対である凧形二十四面体の半分をさらに45度回転させた形状を持ち、カタランの立体の性質を示しています。

一様多面体との関連

また、ミラーの立体は一様多面体の一種とされています。斜方立方八面体と同様の面の種類と数で構成されていますが、その一部を45度回転させることで、全ての頂点が同じ形状の擬大斜方立方八面体（Pseudo-uniform polyhedron）を作ることができます。しかし、通常、これも一様多面体として扱われることはありません。

英語版Wikipediaでは、ミラーの立体と擬大斜方立方八面体が共同で「Pseudo-uniform polyhedron」として分類されています。

関連図形

ミラーの立体に関連する他の図形には、小斜方六面体や、擬大斜方立方八面体が含まれます。また、側台塔回転斜方二十・十二面体も関連項目として挙げられ、こちらは斜方二十・十二面体に対して同様の回転を行ったものの、頂点の形状が合同ではありません。

これらの立体は、幾何学のさらなる探求に向けての興味を引き、新たな発見の扉を開くものです。

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