ヤン–ミルズ方程式と質量ギャップ問題

ヤン–ミルズ方程式の存在と質量ギャップ問題とは

ヤン–ミルズ方程式の存在と質量ギャップ問題は、量子色力学における基本的な未解決問題であり、同時に数学的な難題でもあります。この問題は、素粒子物理学の標準模型の基礎をなすヤン–ミルズ理論が、数学的に厳密な形で存在することを示すとともに、その理論が予言する最小質量を持つ粒子（例えば、強い力を媒介するグルーオンの複合体であるグルーボール）の質量が厳密に正であることを証明することを要求しています。

2000年、アメリカのクレイ数学研究所は、この問題をミレニアム懸賞問題の一つとして選定し、100万ドルの懸賞金をかけました。このことは、この問題が物理学と数学の両分野において、非常に重要かつ困難な問題であることを示しています。

問題の詳細

問題の核心は、以下の2つの点を証明することにあります。

1. ヤン–ミルズ理論の存在: ヤン–ミルズ理論が、現代の数理物理学における厳密さの基準、特に構成的場の理論の枠組みを満たすことを示す必要があります。これは、理論が数学的に矛盾なく定義され、物理的に意味のある解を持つことを保証することを意味します。
2. 質量ギャップの存在: ヤン–ミルズ理論が予言する力場における最小質量を持つ粒子の質量が、ゼロではなく、厳密に正の値を持つことを示す必要があります。これは、例えば、強い力を媒介するグルーオンが、常に他のグルーオンと結合してグルーボールのような複合粒子を形成し、自由なグルーオンとして存在できないことを示唆します。

特に、G=SU(3)（強い力の相互作用に対応）の場合には、グルーボールの質量に厳密な下限が存在し、それよりも軽い粒子が存在しないことを証明する必要があります。

背景

この問題は、ワイトマンの公理系を満たす量子場理論を構成し、同時に質量ギャップの存在を示すことを求めています。以下にそれぞれの詳細を説明します。

ワイトマンの公理系

このミレニアム懸賞問題は、ワイトマンの公理系、またはそれと同等の厳密な公理系を満たすヤン–ミルズ理論を構築することを目標としています。ワイトマンの公理系は、量子場理論が満たすべき基本的な要請を定式化したもので、以下の4つの公理から構成されます。

W0 (相対論的量子力学の前提):
量子力学はフォン・ノイマンの形式に従い記述されます。
純粋状態はヒルベルト空間の射線（1次元部分空間）で表されます。
ポアンカレ群がヒルベルト空間にユニタリに作用します。
位置に依存する量子場が存在し、共変なポアンカレ群の表現を形成します。
エネルギー・運動量スペクトルは、前方光円錐の閉方に含まれます。
真空と呼ばれるポアンカレ群の作用下で不変な状態が存在します。
W1 (場の定義域と連続性についての条件):
すべての試験関数fに対して、場A(f)とその随伴作用素が、真空を含むヒルベルト空間の稠密な部分集合上で定義されます。
場は、作用素に値を持つ扱いやすい分布です。
ヒルベルト空間は、真空に作用する場の多項式によって張られます。
W2 (場の変換法則):
場はポアンカレ群の作用の下で共変であり、ローレンツ群の表現に従って変換されます。
W3 (局所可換性と微視的因果律):
* 空間的に分離された場の間では、可換または反可換な関係が成り立ちます。

真空の巡回性と一意性、そして漸近的完備性も重要な性質として考慮されます。

質量ギャップ

質量ギャップとは、量子場理論において、真空状態と次に低いエネルギー状態との間のエネルギー差のことです。真空のエネルギーをゼロと定義した場合、質量ギャップは最も軽い粒子の質量と解釈できます。

質量ギャップを持つ理論では、相関関数が指数関数的に減衰する性質を持ち、その減衰率が質量ギャップに対応します。ヤン–ミルズ理論が格子上で質量ギャップを持つことは、格子計算によって証明されています。

ヤン–ミルズ理論の重要性

4次元で最も有名かつ非自明な場の量子論は、カットオフスケールを持つ有効場の理論です。ほとんどのモデルではベータ関数が正であるため、これらのモデルの多くはランダウ極を持つと考えられます。そのため、このような場の量子論がすべてのスケールでwell-definedである場合（公理的場の量子論の公理を満たす場合）、その理論は自明（自由場の理論）でなければなりません。

しかし、非可換なゲージ群を持ち、クォークを持たない量子ヤン–ミルズ理論は、漸近的自由性を持つため、この例外です。この理論は、4次元で最も単純かつ非自明で構成的な量子場理論と考えられます。量子色力学（QCD）はクォークを持つため、より複雑な理論となります。

クォークの閉じ込め

理論物理学では、非可換リー群の量子ヤン–ミルズ理論が、色荷の閉じ込めと呼ばれる現象を示すことが知られています（ただし、数学的な厳密さのレベルでは証明されていません）。この閉じ込め効果により、QCDスケールを超えると、色荷はQCDストリングによって結合され、色荷間のポテンシャルが線形になります。その結果、自由な色荷や自由なグルーオンは存在できません。グルーオンは、色荷が中和された結合体であるグルーボールとして観測されます。グルーボールが存在するならば質量を持つため、質量ギャップの存在が期待されます。

まとめ

ヤン–ミルズ方程式の存在と質量ギャップ問題は、現代物理学と数学における最も重要な未解決問題の一つです。この問題の解決は、素粒子物理学の基礎となるヤン–ミルズ理論の数学的基礎を確立するだけでなく、量子場理論における質量ギャップの存在という深い謎を解明する上で、大きな貢献となるでしょう。

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