ホッジ予想

ホッジ予想とは

ホッジ予想は、代数幾何学における中心的な未解決問題の一つであり、複素多様体と部分多様体の代数的トポロジーの関連性に着目しています。具体的には、非特異な複素多様体における特定のホモロジー類（ホッジ類）が、部分多様体のポアンカレ双対の和として表せるかどうか、つまり代数的であるかどうかを問うものです。

この予想は、スコットランドの数学者ウィリアム・ホッジが1930年代から1940年代にかけて、ド・ラームコホモロジーを複素多様体へと拡張する中で生まれました。1950年の国際数学者会議でホッジ自身がこの予想を提起して以来、数学界で大きな注目を集め、現在ではクレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題の一つとして、解決者には100万ドルの懸賞金が提供されることになっています。

ホッジ予想の背景

複素$n$次元のコンパクトな複素多様体$X$は、実$2n$次元の向き付け可能な微分可能多様体とみなすことができます。$X$がケーラー多様体である場合、複素数を係数とするコホモロジー群は以下のように分解されます。

$$H^k(X, \mathbb{C}) = \bigoplus_{p+q=k} H^{p,q}(X)$$

ここで、$H^{p,q}(X)$はタイプ$(p, q)$の調和形式によって表現されるコホモロジー類であり、局所座標$z_1, ..., z_n$を用いると、ある調和関数と微分形式

$$dz_{i_1} \wedge \cdots \wedge dz_{i_p} \wedge d\bar{z}_{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar{z}_{j_q}$$

の積で表されます。この分解はホッジ分解と呼ばれ、コホモロジーのカップ積とも整合性があります。

$X$の次元$k$の複素部分多様体$Z$を考えると、$Z$上の積分

$$\int_Z i^\alpha$$

は、$(p,q)
eq (k,k)$ならばゼロになります。ここで、$i: Z \to X$は埋め込み写像です。この積分は、ポアンカレ双対性を用いると、$Z$のホモロジー類と、コホモロジー類$\alpha$のキャップ積として解釈できます。さらに、$Z$のホモロジー類は、コホモロジー類$[Z]$の双対であり、$[Z]$と$\alpha$のカップ積と、$X$の基本類とのキャップ積によって計算されます。この考察から、$H^{k,k}(X)$のどのコホモロジー類が部分多様体から来るのかという問題が提起されます。

ホッジ予想の定式化

$X$上の次数$2k$のホッジ類の群を

$$Hdg^k(X) = H^{2k}(X, \mathbb{Q}) \cap H^{k,k}(X)$$

と定義すると、ホッジ予想は以下のように述べることができます。

ホッジ予想: 非特異な複素射影多様体$X$上のすべてのホッジ類は、$X$の複素部分多様体のコホモロジー類の有理数係数の線形結合として表すことができる。

複素射影多様体は、複素射影空間に埋め込むことができる複素多様体のことであり、周の定理により、滑らかな射影代数多様体とも同値です。

代数的サイクルによる表現

ホッジ予想は、代数的サイクルの概念を用いて言い換えることもできます。$X$上の代数的サイクルとは、$X$の部分多様体の形式的な結合であり、整数または有理数を係数とする形式

$$\sum_i c_i Z_i$$

で表されます。代数的サイクルのコホモロジー類は、各成分のコホモロジー類の和として定義されます。この表現を用いると、ホッジ予想は以下のように述べられます。

ホッジ予想: 複素射影多様体$X$上のすべてのホッジ類は代数的である。

この予想は、Xが代数的であるという条件を緩和することはできません。ズーカーは1977年に、射影代数的でない解析的なタイプ$(p,p)$の有理数係数のコホモロジーを持つ複素トーラスにおいて反例を構成しました。

ホッジ予想が成立する場合

ホッジ予想が成立することが知られているケースも存在します。

低次元の場合: レフシェッツの(1,1)クラスの定理により、$H^2$に対してホッジ予想が成立します。また、強レフシェッツ定理を用いることで、次数が$2n-2$のホッジ類に対してもホッジ予想が成立します。これにより、$X$の次元が3以下の場合にはホッジ予想が成立することが証明できます。
超曲面: 超曲面の場合、ホッジ予想で非自明な部分は、2$m$次元超曲面の次数$m$の部分に限られます。次数が2の場合（つまり二次曲面の場合）には、すべての$m$に対してホッジ予想が成立します。$m=2$、つまり4次元多様体の場合には、$d\leq 5$に対して成立することが知られています。
アーベル多様体: 大半のアーベル多様体では、代数$Hdg^*(X)$は次数1で生成されるため、ホッジ予想が成立します。特に、十分一般的なアーベル多様体、楕円曲線の積や単純アーベル多様体に対して成立します。しかし、ムムフォードは、$Hdg^2(X)$が因子クラスの積で生成されないようなアーベル多様体の例を構成しました。これは、多様体が虚二次体の虚数乗法を持つ場合に一般化されています。

一般化されたホッジ予想

ホッジの元々の予想は、整数係数を持つ場合を扱ったものでしたが、これは誤りであることがわかっています。そこで、トーションを考慮した整数ホッジ予想も提唱されましたが、これも誤りであることが証明されています。

また、ホッジ予想をケーラー多様体へ拡張する試みもなされましたが、これらも反例が見つかっています。

さらに、ホッジはより強い予想を立てましたが、これもグロタンディークによって修正され、現在では以下のような形になっています。

一般化されたホッジ予想: $N^c H^k(X, \mathbb{Q})$は、$H^{k-c,c}(X) \oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X)$に含まれる$H^k(X, \mathbb{Z})$の最大のホッジ構造である。

このバージョンは未解決のままです。

ホッジ軌跡の代数性

ホッジ予想を支持する最も強い証拠の一つは、ホッジ軌跡の代数性です。多様体の複素構造を変形させたときに、ホッジ類であるコホモロジー類が現れる軌跡が、代数的な部分集合となることが証明されています。

まとめ

ホッジ予想は、数学における重要な未解決問題であり、代数幾何学とトポロジーの深い関連性を示唆しています。この予想の解決は、数学全体に大きな影響を与えると考えられています。

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