モノイド対象

モノイド対象について

圏論においてモノイド対象とは、特定の圏内でモノイドの性質を持つ対象と射の組を指しています。具体的には、モノイド圏と呼ばれる構造を持つ圏の中で、対象 $M$ とそれに関連する二つの射、すなわち乗法 $μ: M ⊗ M → M$ と単位射 $η: I → M$ の組で構成されています。これらの射は、モノイドの性質に従って、特定の合成則や単位元の存在を満たす必要があります。このため、モノイド対象は上記の条件に基づいて圏の中での重要な構造をなします。

モノイド圏 $C$ におけるモノイド対象を内部モノイドとも呼ぶことに注意が必要で、これはその圏の内部で現れるモノイドを意味します。また、これに対になる形で、余モノイド対象（comonoid）も存在し、これは双対的に考えた場合のモノイド対象となります。

モノイド圏 $C$ が対称である場合、すなわち自然同型を除く対称律を定める射 $γ$ が存在すると、モノイド対象 $M$ の可換性は $ ext{μ} ext{∘} ext{γ} = ext{μ}$ という条件によって特徴づけられます。

具体例

1. 集合の圏 Set: ここでのモノイド対象は、通常のモノイドを形成します。
2. 位相空間の圏 Top: この場合、モノイド対象は位相モノイドと称され、トポロジーの特性が具現化されています。
3. モノイドの圏 Mon: ここではモノイド対象が可換モノイドとなり、これはエックマン–ヒルトンの定理から導かれます。
4. 完備結び半束の圏 Sup: この場合、モノイド対象となるのは単位的quantaleであり、特定の集合操作を通じています。
5. アーベル群の圏 (Ab, ⊗Z, Z): モノイド対象は環として現れます。
6. R-加群のモノイド圏: モノイド対象は R-結合多元環として知られ、R-次数付き加群の圏のモノイド対象は次数付き R-多元環と呼ばれます。さらに、R-鎖複体の圏のモノイド対象は、次数付き微分多元環に分類されます。
7. ベクトル空間の圏 K-Vect: この圏におけるモノイド対象は K-代数であり、余モノイド対象は K-余代数となります。
8. 自己函手の圏 [C,C]: 任意の圏において自己函手の圏はモノイド構造を持ち、そのモノイド対象は圏のモナドとされます。

任意の圏には、対角射を通じて余モノイド対象が構成され、また有限余積を持つ圏においては任意の対象がモノイド対象として機能します。これらの特性は、圏論におけるモノイドの理解を深める手助けとなります。

モノイド対象の射について

圏 $C$ における二つのモノイド対象 $(M, μ, η)$ と $(M′, μ′, η′)$ の間において、射 $f: M → M′$ がモノイド対象の射（monoid morphism）であるためには、次の条件を満たす必要があります。すなわち、$f ∘ μ = μ′ ∘ (f ⊗ f)$ 且つ $f ∘ η = η′$ です。これによって形成される図式が可換であることが求められます。

このように、圏 $C$ における全てのモノイド対象とその間のモノイド射から作られる圏は、しばしば $MonC$ と表記されます。通常のモノイドの圏は $Mon = MonSet$ と記述されることが一般的です。

参考文献

• - Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalov, Monoids, Acts and Categories (2000), Walter de Gruyter, Berlin [ISBN]] 3-11-015248-7
• - [nLab - monoid in a monoidal category
• - nLab - category of monoids

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