加群の圏

加群の圏 (Category of Modules)

加群の圏 (英: category of modules) Mod は、圏論という数学の分野において中心的な役割を果たす圏の一つです。その名の通り、対象はすべての加群、射は加群間の準同型写像から構成されます。

定義の詳細

任意の環 R（必ずしも可換でなくてもよい）を考えたとき、R上の左加群の圏 R-Mod（あるいは RMod と表記されることもあります）は、R-左加群全体を対象とし、それらの間のR-線型写像（R-左加群としての準同型写像）全体を射とする圏として厳密に定義されます。同様に、R上の右加群の圏 Mod-R や、環 R と別の環 S 上の (R, S)-両側加群の圏 R-Mod-S なども同様の方法で定義されます。

特に R が可換環である場合、R-左加群、R-右加群、R-両側加群は本質的に同じ構造を持つため、これらを区別せず単に R-加群の圏と呼び、通常 R-Mod と表記します。

用語に関する注意

『加群圏』という言葉は、加群の圏 Mod を指す場合もありますが、圏論においては『圏自体が加群のような構造（より正確には、モノイド圏の作用）を持つ』ことを指す用語として用いられることもあります。そのため、文脈によっては混同が生じやすい可能性があります。

重要な性質

加群の圏は、多くの望ましい性質を持っています。

R-左加群の圏、R-右加群の圏、およびR-両側加群の圏は、いずれもアーベル圏という非常に重要な性質を満たします。これは、核や余核が存在し、それらに関するいくつかの基本的な準同型定理が成り立つことを意味します。
これらの圏は、十分射影的（十分多くの射影対象を持つ）かつ十分入射的（十分多くの入射対象を持つ）であることも知られています。
圏論的な極限（射影極限）および余極限（帰納極限）が常に存在します。
圏論における有名な定理であるミッチェルの充満埋蔵定理は、任意のアーベル圏が、ある環上の加群の圏の充満部分圏として厳密に実現できることを保証しており、加群の圏がアーベル圏の理論において基本的な役割を担っていることを示しています。
特に可換環上の加群の圏は、加群のテンソル積 ⊗ を用いることで、対称モノイド圏という更なる豊かな構造を持つことがわかります。

具体例

加群の圏の概念は、数学の様々な分野に現れる具体的な圏を含んでいます。

アーベル群の圏: 係数環 R として有理整数環 Z を取った場合、Z-加群の圏 Z-Mod は、まさしくアーベル群全体の圏 Ab に一致します。これは、任意のアーベル群が自然にZ-加群とみなせるからです。
ベクトル空間の圏: 係数環 R が可換体 K の場合、K-加群はK-ベクトル空間そのものであるため、K-加群の圏 K-Mod は通常、K-ベクトル空間の圏 K-Vect あるいは KVect と表記されます。K-Vect は、すべてのK-ベクトル空間を対象とし、すべてのK-線型写像を射とする圏です。線型代数学という分野は、本質的にこのK-ベクトル空間の圏 K-Vect を研究することに他ならないとも言えます。例えば、線型代数学における基本的な定理であるベクトル空間の次元定理（基底数一定定理）は、K-Vect の対象の同型類が集合の濃度（基数）と一対一に対応すること、そしてK-Vect が、任意の基数 n に対応する自由ベクトル空間 Kn 全体からなるK-Vect の充満部分圏と圏同値であることを示唆しています。

一般化

より進んだ概念として、環付き空間上の加群の層の圏なども存在し、これもまた十分射影的かつ入射的であることが知られています。

関連する概念

加群の圏は、以下のような様々な数学的対象や理論と深く関連しています。

代数的K理論
環の圏
導来圏
加群スペクトル
次数付き線型空間の圏

加群の圏は、抽象的な代数構造である加群とその間の関係性を圏論の枠組みで捉えることで、様々な代数的構造や理論を統一的に理解するための強力な道具となっています。

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