位相空間の圏

位相空間の圏 Top

数学の一分野である圏論において、位相空間の圏 Top とは、対象が位相空間、射がそれらの間の連続写像である圏を指します。

二つの連続写像の合成が再び連続写像となることから、この集まりは圏構造を成します。

文脈により、対象や射に特定の条件（例: コンパクト生成空間）が課される場合があるため、留意が必要です。

圏 Top および圏論的手法による位相空間の研究分野は、『圏論的位相空間論』と呼ばれます。

注意点として、文献によっては記号 Top が位相多様体とその間の連続写像の圏を指す場合があるため、TopSp や TopMan などで区別されることもあります。

具体圏としての側面

位相空間の圏 Top は『具体圏』です。対象が位相という構造を持つ集合であり、射が構造を保つ写像であることを意味します。

この性質から、各位相空間にその台となる集合を対応させる『忘却函手』 U: Top → Set が存在します。U には、集合に離散位相を与える左随伴函手 D と、密着位相を与える右随伴函手 I が存在します。

Top は『ファイバー完備』であり、特定の集合X上の可能な位相は包含関係で完備束を成し、離散位相が最大元、密着位相が最小元です。

また、Top は『位相圏』のモデルの一つです。位相圏は、構造化された始域に対し一意的な『始持ち上げ』（Topでは始位相により実現）が存在する性質を持ち、Topの重要な性質の源泉です。

完備性と余完備性

位相空間の圏 Top は、『完備』かつ『余完備』、すなわち任意の小さい図式に対する極限と余極限が Top 内に存在します。

忘却函手 U は、Set における極限および余極限を Top へ一意的に『持ち上げ』、それらを保ちます。このため、Top における（余）極限は、Set の対応する（余）極限となる集合に、適切な位相（極限には始位相、余極限には終位相）を付与することで構成できます。

多くの代数学的な圏とは異なり、U は極限や余極限を『創出』したり『反映』したりしません。

Top における代表的な極限・余極限の例は以下の通りです。

始対象: 空集合。終対象: 一点集合。零対象: なし。
直積: 台集合の直積に直積位相。
直和: 位相的直和。
等化子: 集合論的等化子に相対位相。
余等化子: 集合論的余等化子に商位相。
逆極限・直極限: 集合論的対応物に始位相・終位相を付与。
押出し: 接着空間。

射の性質とその他の特徴

『単型射』は単射連続写像。『全型射』は全射連続写像。『同型射』は同相写像。双射連続写像が必ずしも同型射でないことに注意。
『極値的単型射』は部分空間への埋め込み（正則射）。『極値的全型射』は商写像（正則射）です。
『分裂単型射』は部分空間への包含写像。『分裂全型射』は部分空間への連続全射です。

Top には『零射』が存在しないため、『前加法圏』ではありません。また、『デカルト閉圏』ではなく（指数対象なし）、『トポス』でもありません。

他の圏との関連

『点付き位相空間の圏』 Top• は、Top 上の『余スライス圏』と見なせます。
位相空間の『ホモトピー圏』 hTop は、連続写像のホモトピー同値類を射とする Top の『商圏』です。
* Top は、『ハウスドルフ空間の圏』 Haus という重要な『充満部分圏』を含みます。Haus の全型射は、Top とは異なり、像が終域で稠密となる射を指します。

これらの性質を通じて、位相空間の圏 Top は、位相空間の構造を圏論的に理解するための基礎を提供します。

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