アーベル群の圏

アーベル群の圏 Ab

アーベル群の圏Abは、数学の分野である圏論において極めて基本的な例として挙げられる圏の一つです。その対象はアーベル群（可換群）であり、射は群の準同型写像によって構成されます。この圏は、アーベル圏という重要なクラスの原型であり、より小さな任意のアーベル圏は、このアーベル群の圏に埋め込むことが可能であることが知られています。

Abの基本的な性質

Abにおける圏論的な構成要素は、対応する代数的構造と密接に関連しています。

零対象: 唯一の元（単位元）のみからなる自明群 `{0}` が、Abにおける零対象となります。これは対象としても終対象としても機能します。
射の分類:
単型射: 圏論的な単型射は、台集合上の写像としての単射に対応する群準同型、すなわち単準同型です。
全型射: 圏論的な全型射は、台集合上の写像としての全射に対応する群準同型、すなわち全準同型です。
同型射: 圏論的な同型射は、逆射を持つ準同型であり、これは台集合上の写像としての全単射に対応する準同型、すなわち双射準同型（群同型写像）です。

群の圏Grpとの比較

Abは、すべての群を対象とし群準同型を射とする群の圏Grpの充満部分圏（対象をAbに限定しても射は同じ）です。しかし、両者には構造的に重要な違いがあります。Grpでは一般に定義できない二つの準同型 $f, g: A \to B$ (ただし $A, B$ はアーベル群) の「和」$f+g$ が、Abでは定義可能です。これは、終域であるアーベル群 $B$ の演算が可換であることによるものです。この和は以下のように定義されます。

$$
(f+g)(x) = f(x) + g(x) \quad (\forall x \in A)
$$

このとき、$f+g$ もまた準同型となります。実際、$x, y \in A$ に対して:

$$
\begin{aligned}
(f+g)(x+y) &= f(x+y) + g(x+y) \\
&= (f(x)+f(y)) + (g(x)+g(y)) \quad (\text{f, g は準同型}) \\
&= f(x)+f(y)+g(x)+g(y) \\
&= f(x)+g(x)+f(y)+g(y) \quad (\text{B はアーベル群なので可換}) \\
&= (f+g)(x) + (f+g)(y)
\end{aligned}
$$

この準同型の和によって、Abは前加法圏の構造を持ちます。さらに、アーベル群における有限個の直和が圏論的な双積（直積かつ直和となる対象）となるため、Abは加法圏となります。

核と余核、アーベル圏の構造

Abにおける圏論的な核と余核の概念は、代数学における核と余核の概念と完全に一致します。

核: 射 $f: A \to B$ の圏論的な核は、代数的な核である部分群 $\mathrm{ker}(f) = \{x \in A \mid f(x)=0\}$ に、その部分群から $A$ への包含写像を組み合わせた形で与えられます。
余核: 射 $f: A \to B$ の圏論的な余核は、代数的な余核である剰余群 $B/f(A)$ に、自然な全射 $B \to B/f(A)$ を組み合わせた形で与えられます。Grpにおいては、準同型の像 $f(A)$ が常に終域 $B$ の正規部分群であるとは限らないため、剰余群 $B/f(A)$ が定義できない場合があります。しかし、Abでは終域がアーベル群であるため、すべての部分群は正規部分群となり、$f(A)$ も正規部分群となるため、剰余群は常に定義可能です。

このように、すべての射に対して核と余核が存在し、さらにそれらが適切な性質（正規射と余正規射の一致など）を満たすことから、Abはアーベル圏となります。Abはアーベル圏の最も基本的かつ重要な例です。

極限と余極限

Abは、圏論的な極限と余極限の両方を持つ、完備かつ余完備な圏です。

直積（積）: Abにおける圏論的な直積は、アーベル群としての直積（台集合の直積に成分ごとの演算を定義したもの）によって与えられます。任意の図式に対する積が存在するため、Abは完備圏となります。
直和（余積）: Abにおける圏論的な直和は、アーベル群としての直和によって与えられます。任意の図式に対する余積が存在するため、Abは余完備圏となります。特に、有限個の直和は前述のように双積となります。

忘却函手と随伴

アーベル群の構造を「忘れて」台集合のみを取り出す函手 Ab \to Set は、圏論的な概念である忘却函手の一例です。この函手は射の違いを保つため忠実であり、これによりAbは具体圏となります。この忘却函手は左随伴函手を持ちます。これは、任意の集合に対して、その集合を生成系とする自由アーベル群を対応させる函手です。しかし、右随伴函手は存在しません。

生成対象、入射対象、射影対象

アーベル群の圏Abにおける直極限をとる操作は完全函手となります。
整数のなす加法群 $\mathbb{Z}$ は、Abの生成対象です。任意のアーベル群は、いくつかの $\mathbb{Z}$ のコピーからの全射の余像として得られます。
$\mathbb{Z}$ が生成対象であることから、Abはグロタンディーク圏となります。Abはグロタンディーク圏の最も基本的な例の一つです。
Abにおける入射対象（ある性質を満たす対象で、それへの射を拡張できる）は、可除群であることと同値です。
Abにおける射影対象（ある性質を満たす対象で、それからの射を持ち上げられる）は、自由アーベル群であることと同値です。
* 前述の $\mathbb{Z}$ は、射影的生成対象でもあります。有理数全体のなす加法群 $\mathbb{Q}$ を整数の剰余群 $\mathbb{Z}$ で割った群 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ は、入射的余生成対象となります。

モノイド圏構造

二つのアーベル群 $A$ と $B$ が与えられたとき、それらのテンソル積 $A \otimes B$ を構成することができ、これもまたアーベル群となります。このテンソル積を圏の積と見なすことで、Abは対称モノイド圏の構造を持ちます。これは、アーベル群の間の「積」のような概念を提供します。

デカルト閉圏ではない

Abはデカルト閉圏ではありません。その理由の一つは、圏論的な指数対象（射集合を対象として表現するもの）が存在しないためです。デカルト閉圏ではないため、Abはトポスにもなり得ません。

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