モンスター群

現代代数学における群論という分野には、対称性を記述する様々な「群」が存在します。その中でも、「モンスター群」(Monster group, M) は、有限単純群という基本的な構成要素の一つであり、特に「散在型単純群」と呼ばれる孤立した26個の群の中で最大のものとして知られています。

巨大な位数

モンスター群の最も際立った特徴の一つは、その位数の巨大さです。その位数は以下の素因数分解で与えられます。

$2^{46} \cdot 3^{20} \cdot 5^{9} \cdot 7^{6} \cdot 11^{2} \cdot 13^{3} \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 41 \cdot 47 \cdot 59 \cdot 71$

この数値は具体的には 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 となり、およそ $8 \times 10^{53}$ という天文学的な大きさです。この圧倒的な規模から、「フィッシャー・グリースモンスター」や、より親しみを込めて「Friendly Giant」と呼ばれることもあります。

有限単純群における位置づけ

数学者たちは、有限単純群（それ自身以外に自明でない正規部分群を持たない有限群）を完全に分類することに成功しました。これらの群は、18種類の無限系列に属するか、あるいは特定のパターンに従わない26個の「散在群」(Sporadic groups) のいずれかです。モンスター群はこの26個の散在群の一つです。

興味深いことに、モンスター群は他の散在群の大部分を「部分商」として含んでいます。具体的には、26個の散在群のうち6個の例外（これらは「pariahs」、追放者と呼ばれます）を除く20個（これらは「happy family」と呼ばれます）を部分商として内部に持っています。これは、モンスター群が多くの散在群と密接に関連していることを示しています。

構成と存在の証明

モンスター群のような複雑な構造を持つ群の「構成」を具体的に示すことは、その巨大さゆえに容易ではありませんでした。モンスター群の存在は、ベルンド・フィッシャーとロバート・グリースによって1970年代にまず理論的に「予言」されました。グリースは数ヶ月のうちに、モンスター群の位数を計算しました。

その後の研究で、モンスター群が既知の多くの散在群や、当時新しく発見されたトンプソン群、原田・ノートン群といった群を部分商として含むことが明らかになりました。モンスター群の基本的な情報である「指標表」（群の表現論において重要なデータ）は、1979年にコンピュータを使って計算されました。

しかし、モンスター群が本当に数学的に存在するのかどうかは、1970年代の間は未解決の問題でした。ロバート・グリースは1982年に、196,884次元のグリース代数と呼ばれる特別な非結合的な可換環の自己同型群としてモンスター群を構成し、その存在を厳密に証明しました。その後、ジョン・コンウェイやジャック・ティッツらがこの構成を単純化する試みを行いました。

モンスター群の一意性（指定された条件を満たす単純群がモンスター群と同型であること）も証明されており、これは特に196,883次元の「忠実表現」（群の元を行列として表す方法）の存在と深く関連しています。この一意性の完全な証明は、グリース、マイヤーフランケンフェルト、セゲフによって1989年に初めて出版されました。

モンスター群は、フィッシャー群Fi₂₄、ベビー・モンスター群、コンウェイ群Co₁という3つの散在群のうち、任意の2つを部分商として用いることで構成できる、という性質も持っています。また、モンスター群のシューア乗数（群の拡大に関連する指標）と外部自己同型群（自己同型写像のうち内部自己同型でないもの）は、いずれも自明な群であることが知られています。

表現と計算

群論において、群の元を具体的な線型変換（行列）や置換として捉える「表現」は非常に重要です。モンスター群の「忠実表現」（群の異なる元を異なる行列や置換に対応させるもの）の中で最小の次元を持つものは、その巨大さを反映しています。

複素数体上の最小忠実線型表現の次元は196,883です。
2元体上の最小忠実線型表現の次元は196,882です。
* 最小忠実置換表現は、約10²⁰個の点に対する置換として実現されます。

モンスター群は、有理数体上のガロワ群や、フルヴィッツ群（リーマン面の自己同型群として現れる群）としても実現できることが知られています。

他の多くの単純群とは異なり、モンスター群はその巨大さから、コンピュータ上での計算が非常に難しいという特徴があります。これは、モンスター群には「小さい」表現（例えば、交代群のような小さな置換表現や、リー型群のような比較的次元の小さな線型表現）が存在しないためです。モンスター群の次に難しいとされるベビー・モンスター群でも4370次元の表現を持つことから、モンスター群の19万次元を超える表現がいかに大きいかがわかります。

コンピュータによる構成の試みも行われています。ロバート・A・ウィルソンらは、2元体上の196,882次元の行列でモンスター群を生成する元を明示的に見つけましたが、これらの行列自体が膨大なデータを必要とし、直接的な計算は非現実的です。
ウィルソンは、モンスター群の最も良い記述は「モンスター頂点代数という特定の代数の自己同型群である」と主張していますが、このモンスター頂点代数自体もまだ単純で自然な構成法が見つかっていません。しかし、ウィルソンらは特定の大きな部分群を利用することで、モンスター群に関する計算を効率的に行う手法も開発しています。

他分野との関連：月光現象とマッケイ観察

モンスター群は、他の数学分野、特に数論や幾何学とも驚くべき関連性を示しています。

モンストラス・ムーンシャイン予想

最も有名な関連は、コンウェイとノートンによる「モンストラス・ムーンシャイン予想」です。この予想は、モンスター群の指標（表現論における重要な数値）が、数論におけるモジュラー関数（特定の対称性を持つ複素解析的な関数）の係数と関連するという、一見無関係に見える二つの分野を結びつけるものでした。この予想はリチャード・ボーチャーズによって1992年に最終的に証明され、フィールズ賞受賞の一つの理由となりました。

ムーンシャインの文脈では、モンスター群は「モンスター加群」と呼ばれる無限次元の頂点作用素代数の自己同型群として現れます。この頂点作用素代数は、グリース代数を含んでおり、特定のリー環（一般カッツ・ムーディ代数）にも作用します。

マッケイのE8観察

モンスター群は、リー代数やディンキン図形とも関連付けられています。特に「マッケイのE8観察」は、拡張ディンキン図形 $\tilde{E}_8$ の頂点とモンスター群の共役類（互いに共役な元の集まり）の間に対応があることを示唆しています。この関係はさらに、拡張ディンキン図形 $\tilde{E}_6, \tilde{E}_7, \tilde{E}_8$ と、フィッシャー群の特定の中心拡大 (3.Fi₂₄′)、ベビー・モンスター群の特定の中心拡大 (2.B)、そしてモンスター群 (M) との関係に拡張されます。これらの群は、モンスター群の特定の型の元の中心化群に関連する散在群であり、拡大の次数が図形の対称性に対応していると考えられています。

また、これ以外にも、比較的小さな単純群PSL(2, 11)や、代数幾何学におけるブリング曲線と呼ばれる種数4の曲線に関連する構造との対応も指摘されています。

極大部分群

モンスター群の内部構造を理解するためには、その「極大部分群」（自分自身以外の部分群で、それより大きな部分群に含まれないもの）を調べることが重要です。モンスター群は、少なくとも44種類の共役類に分類される極大部分群を持つことが知られています。これらの部分群の中には、約60種類の同型型を持つ非可換単純群が、部分群やその部分商として含まれています。含まれる最大の交代群はA₁₂です。

先に述べたように、モンスター群は26個の散在群のうち20個を部分商として含みます。これは、これらの散在群がモンスター群の極大部分群の構造に関連していることを示唆しています。極大部分群の完全なリストを作成し、その構造を理解することは、モンスター群の研究における重要な課題の一つであり、現在も研究が進められています。

モンスター群は、その発見、存在の証明、構造の解明、そして他の数学分野との予想外の関連性の発見を通じて、現代数学に大きな影響を与え続けている、まさに「モンスター」の名にふさわしい巨大で神秘的な対象です。

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