交代群

交代群：偶置換の群

交代群Anは、n個の要素からなる集合上の偶置換全体からなる群です。n次対称群Snの部分群であり、Snの要素の半数、すなわちn!/2個の要素を含みます。Anは、n個の変数の交代式を不変にする置換の集合と捉えることもできます。

例えば、{1, 2, 3, 4}上の交代群A4は、恒等置換eと、(1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)といった3-サイクル、そして(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)といった互換の積から構成されます。これらの置換は全て偶置換であり、A4の位数は12となります。

基本的性質

指数2の正規部分群: n > 1のとき、AnはSnの指数2の正規部分群です。これは、Snから{1, -1}への符号準同型写像の核となることから分かります。偶置換は符号1、奇置換は符号-1を持ちます。
可換性と単純性: Anが可換群となるのはn ≤ 3のとき、そして単純群となるのはn = 3またはn ≥ 5のときのみです。A5は位数60の最小の非可換単純群であり、最小の非可解群でもあります。A4はクラインの四元群Vを正規部分群として含みます。
共役類: Anの共役類は、対称群と同様に巡回置換型によって分類されますが、巡回置換の長さが全て奇数で重複がない場合、対応する共役類は2つ存在します。これは、Anにおいて置換とその逆置換が必ずしも共役とは限らないためです。
自己同型群: n > 3 (n ≠ 6)のとき、Anの自己同型群はSnと同型です。内部自己同型群はAnであり、外部自己同型群は位数2の巡回群Z/2Zです。n=1,2のときは自己同型群は自明群、n=3のときはZ/2Z、n=6のときはクラインの四元群です。

例外的な同型

低次元の交代群と、いくつかのリー型の群の間には、例外的な同型が存在します。具体的には、A4 ≅ PSL(2,3), A5 ≅ PSL(2,4) ≅ PSL(2,5), A6 ≅ PSL(2,9) ≅ PSp(4,2)', A8 ≅ PSL(4,2)といった同型が知られています。これらの同型は、群論における重要な関係性を示しています。

部分群

交代群A4は、ラグランジュの定理の逆が成立しない最小の群の例として知られています。A4の位数は12ですが、位数6の部分群は存在しません。これは、群の部分群の構造が、群の位数だけでは決定できないことを示しています。

群の表示

交代群An (n ≥ 3)は、生成元と関係式を用いて表示することができます。Carmichaelによる表示やMooreによる表示など、いくつかの表示方法が知られています。これらの表示は、Anの構造を代数的に記述する上で重要です。

群ホモロジー

交代群のホモロジー群は、安定ホモトピー論において重要な役割を果たします。特に、アーベル化(H1)とシューア乗因子(H2)は、Anの構造を理解する上で重要な不変量です。

アーベル化(H1): n ≥ 5のとき、Anのアーベル化は自明群です。n=3のときZ/3Z、n=4のときZ/3Zとなります。
シューア乗因子(H2): n ≥ 5のとき、Anのシューア乗因子は通常Z/2Zですが、n=6,7のときはZ/6Zとなります。

交代群は、群論の中でも重要な研究対象であり、対称群と共に、様々な数学分野で応用されています。その構造の複雑さと、同時に持つ美しい性質は、研究者たちを魅了し続けています。

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