ラングランズ・プログラム

ラングランズ・プログラムとは

ラングランズ・プログラムは、代数的整数論におけるガロア群の理論を、局所体およびそのアデール上で定義された代数群の表現論および保型形式論に結び付ける、広大かつ影響力の大きい予想のネットワークです。このプログラムは、ロバート・ラングランズによって1960年代後半に提唱されました。

プログラムの背景

ラングランズ・プログラムは、既存の数学的概念を基盤として構築されており、ハリッシュ＝チャンドラとゲルファントによるカスプ形式の理論、半単純リー群に関するハリッシュ＝チャンドラの研究、セルバーグの跡公式などがその基礎となっています。

当初は斬新であったラングランズの研究は、技術的な進歩とともに、数論との直接的な繋がりを示す、体系的な構造を持つようになりました。特に、ハリッシュ＝チャンドラの仕事に見られる、半単純リー群に対する手法が、一般の代数群にも適用可能であるという原理は、モジュラー形式論におけるGL(2)や類体論におけるGL(1)などの低次元リー群の役割を、より高次元のGL(n)へと拡張する可能性を示唆しました。

カスプ形式は、モジュラー曲線のカスプだけでなく、スペクトル理論における離散スペクトルとしても捉えることができます。より大きなリー群におけるカスプ形式の取り扱いは、放物型部分群の増加により、技術的に複雑になります。これらの手法には近道はなく、多くの場合、帰納的アプローチやレヴィ分解に基づいた深い理解が求められます。

モジュラー形式の観点からは、ヒルベルトモジュラー形式、ジーゲルモジュラー形式、テータ級数などが関連する例として挙げられます。

プログラムの対象

ラングランズ予想は多岐にわたり、様々な体や群に対して様々な形が存在します。中には、曖昧な形で定式化されていたり、ラングランズ群やL-群の定義自体が複数存在するものもあります。また、ラングランズが最初に提唱した当初から、予想の内容は深められ、発展を続けています。

ラングランズ予想の対象として、以下のものが挙げられます。

局所体上で定義された簡約代数群の表現：アルキメデス局所体（実数体Rまたは複素数体C）、p進局所体（有理数体Qpの有限次拡大）、関数体の完備化（有限体上の形式ローラン級数体F((t))の有限次拡大）などがあります。
大域体上で定義された簡約代数群上の保型形式：代数体や代数関数体などが含まれます。
有限体：ラングランズ自身は予想の範囲に含めていませんでしたが、その類似として有限体に対する予想も存在します。
複素数体上の関数体など、より一般的な体

ラングランズ予想の概要

ラングランズ予想は様々な形で述べることができ、それらは密接に関連していますが、その同値性は必ずしも明らかではありません。

相互律

ラングランズ・プログラムの出発点は、二次の相互律を一般化したアルティンの相互律であると考えることができます。アルティンの相互律は、可換ガロア群を持つ代数体のガロア拡大において、L関数をガロア群の一次元表現に対応させ、これらのL関数を、ディリクレL級数やヘッケ指標から構成される、より一般的な級数と同一視できると主張します。

非可換ガロア群やその高次元表現に対しても、アルティンL関数として自然にL関数を定義することができます。ラングランズは、ディリクレL関数の一般化を求めることで、アルティンの主張をより一般の状況に拡張しようとしました。

保型形式論

エーリッヒ・ヘッケは、ディリクレL関数を保型形式と関連付けましたが、ラングランズはこれを、有理数体Qのアデール環A上で定義される一般線形群GL(n,A)の無限次元既約表現である保型尖点表現へと一般化しました。

ラングランズは、保型L関数をその保型表現に対応させ、「任意のアルティンL関数が、代数体のガロア群の有限次元表現から生じることと、保型尖点表現から生じることとは等しい」と予想しました。これをラングランズの「相互律予想」と呼びます。相互律予想は、簡約代数群の保型表現とラングランズ群からL群への準同型との間の対応を与えるものであり、ラングランズ群やL群の明確な定義がないため、様々なバリエーションが存在します。局所体における相互律は、局所体上の簡約代数群の既約許容表現のL-パケットのパラメーター付けを与え、大域体上では保型形式のパラメーター付けを与えると期待されています。

函手性

函手性予想は、L群の適切な準同型が、保型形式（大域体の場合）や表現（局所体の場合）の間の対応を与えることを主張します。ラングランズの相互律予想は、函手性予想の特殊なケースと見なすことができます。

一般化された函手性

ラングランズは、函手性の概念を一般線形群GL(n)だけでなく、他の連結簡約代数群にも適用できるように一般化しました。そして、群Gに対してラングランズ双対群LGを構成し、Gの任意の保型尖点表現とLGの任意の有限次元表現に対し、L関数を定義しました。ラングランズの予想の一つは、このL関数が既知のL関数の関数等式を一般化した関数等式を満たすというものです。

ラングランズは、非常に一般的な「函手性原理」を提唱しました。これは、二つの簡約代数群とその対応するL群の間の適切な準同型が与えられたとき、これらの群の保型表現が、L関数を通じて整合的な関係を持つというものです。この函手性予想から、既存のすべての予想が導かれるとされています。函手性予想は、誘導表現の構成（従来の保型形式論における「持ち上げ」に相当）を一般化したものであり、具体的な構成も試みられていますが、限定的な結果しか得られていません。

これらの予想は、有理数体だけでなく、代数体や局所体、関数体など、より一般的な体に対しても定式化することができます。

幾何学的ラングランズ予想

幾何学的ラングランズ・プログラムは、通常のラングランズ・プログラムを幾何学的に再定式化したものです。代数曲線のエタール基本群のl進表現を、曲線上のベクトル束のモジュライスタック上で定義されたl進層の導来圏の対象に関連付けます。このアプローチは、単に既約表現だけでなく、より豊かな構造を研究することを可能にします。

現在の状況

GL(1, K)に対するラングランズ予想は、類体論から導かれます（実質的に同値）。
ラングランズ自身は、アルキメデス局所体（RおよびC）に対するラングランズ予想を肯定的に解決しました。
ルスティックによる有限体上のリー型群の既約表現の分類は、有限体に対するラングランズ予想に相当するものと考えられます。
ワイルズによる有理数体上の半安定楕円曲線のモジュラー性の証明は、ラングランズ予想の一部と見なすことができますが、ワイルズの方法を任意の数体へ拡張することは困難です。
有理数体上の二次一般線型群GL(2,Q)に対するラングランズ予想は未解決です。
ラフォルグは、関数体K上の一般線型群GL(n,K)に対するラングランズ予想を証明しました。
局所ラングランズ予想は、KutzkoによってGL(2,K)の場合が証明され、Laumon, Rapoport, Stuhlerによって正標数局所体上のGL(n,K)の場合が、Taylor and Harris, Henniartによって標数0の局所体上のGL(n,K)の場合が証明されています。
ゴ・バオ・チャウは、基本補題と呼ばれる重要な補助定理を証明しました。

参考文献

Arthur, James (2003), “The principle of functoriality”, American Mathematical Society. Bulletin. New Series 40 (1): 39–53
Bernstein, J.; Gelbart, S. (2003), An Introduction to the Langlands Program, Boston: Birkhäuser
Gelbart, Stephen (1984), “An elementary introduction to the Langlands program”, American Mathematical Society. Bulletin. New Series 10 (2): 177–219
Frenkel, Edward (2005). "Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory". arXiv:hep-th/0512172。
Gelfand, I. M. (1963), “Automorphic functions and the theory of representations”, Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Stockholm, 1962), Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, pp. 74–85
Harris, Michael; Taylor, Richard (2001), The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, Annals of Mathematics Studies, 151, Princeton University Press
Henniart, Guy (2000), “Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL(n) sur un corps p-adique”, Inventiones Mathematicae 139 (2): 439–455
Kutzko, Philip (1980), “The Langlands Conjecture for Gl2 of a Local Field”, Annals of Mathematics 112 (2): 381–412
Langlands, Robert (1967), Letter to Prof. Weil
Langlands, R. P. (1970), “Problems in the theory of automorphic forms”, Lectures in modern analysis and applications, III, Lecture Notes in Math, 170, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 18–61
Laumon, G.; Rapoport, M.; Stuhler, U. (1993), “D-elliptic sheaves and the Langlands correspondence”, Inventiones Mathematicae 113 (2): 217–338
Scholze, Peter (2013), “The Local Langlands Correspondence for GL(n) over p-adic fields”, Inventiones mathematicae 192 (3): 663–715

関連項目

局所ラングランズ予想
数学における統一理論

外部リンク

* The work of Robert Langlands

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