導来圏

導来圏 (Derived Category)

数学、特にホモロジー代数において、アーベル圏 ${\mathcal{A}}$ の導来圏 $D({\mathcal{A}})$ は、導来函手の理論を精密化し、より扱いやすくするために導入された概念です。

概要

導来圏は、アーベル圏の鎖複体を対象とし、鎖写像が存在してコホモロジーを誘導する場合に同型とみなします。これにより、導来函手を鎖複体に対して定義し、超コホモロジーの概念を精密化することができます。導来圏の導入により、煩雑なスペクトル系列を用いるしかなかった式が劇的に簡素化されます。

導来圏の発展は、アレクサンドル・グロタンディークとその学生ジャン・ルイ・ヴェルディエによって1960年代初頭に行われました。これは、1950年代のホモロジー代数の爆発的な発展の到達点とみなされています。ヴェルディエによる理論の基本部分は博士論文にまとめられましたが、1996年にようやく出版されました。その定式化には革新的な発想である三角圏の概念が必要であり、その構成は環の局所化を一般化した圏の局所化に基づいています。

動機

導来圏は、スキーム上の連接層の理論において、非特異スキームという仮定なしにセール双対の理論を展開するために導入されました。グロタンディークは、単なる双対化層の代わりに層の複体を考える必要性があると考え、「正しい」テンソル積やHom関手は導来圏のレベルで存在するだろうというアイデアに至りました。Tor関手とExt関手は、導来圏レベルの関手を計算するためのツールとして位置づけられました。

抽象度が高いにもかかわらず、特に層コホモロジーの設定での利便性により、導来圏はその後の数十年で受け入れられるようになりました。1980年頃には、導来圏を用いて1次元よりも大きなリーマン・ヒルベルト対応が定式化され、佐藤スクールはD-加群の理論を導来圏を用いて記述しました。また、ホモトピー論におけるスペクトルの圏の理論も平行して発展し、スペクトルのホモトピー圏と環の導来圏は、どちらも三角圏の例となっています。

定義

アーベル圏 ${\mathcal{A}}$ の導来圏 $D({\mathcal{A}})$ は、以下のステップで得られます。

1. ${\mathcal{A}}$ における鎖複体の圏 $\operatorname{Kom}({\mathcal{A}})$ を考えます。
2. 鎖ホモトピーな射を同一視することにより、鎖複体のホモトピー圏 $K({\mathcal{A}})$ を得ます。
3. 擬同型の集合での局所化により、導来圏 $D({\mathcal{A}})$ を得ます。導来圏の射は、経路図式 $X \leftarrow X' \rightarrow Y$ として表現されます。ここで、$X' \rightarrow X$ は擬同型、$X' \rightarrow Y$ は鎖複体の任意の射です。

モデル圏の観点からは、導来圏 $D({\mathcal{A}})$ は鎖複体の真のホモトピー圏であり、$K({\mathcal{A}})$ はナイーブなホモトピー圏と呼ばれます。

三角圏としての導来圏

鎖複体 X が下に有界とは、$n << 0$ に対し $X^n = 0$ であることで、上に有界とは、$n >> 0$ に対し $X^n = 0$ であることで、有界とは、$|n| >> 0$ に対し $X^n = 0$ のことです。有界ではない鎖複体の代わりに、下に有界、上に有界、あるいは有界な鎖複体を使うことがあります。対応する導来圏は、それぞれ $D^+({\mathcal{A}})$, $D^-({\mathcal{A}})$, $D^b({\mathcal{A}})$ と記されます。

古典的な圏の観点を適用する際には、導来圏に変更することを証明するために議論を追加する必要があります。アーベル圏 ${\mathcal{A}}$ が小さい場合や、グロタンディークアーベル圏である場合は、特に問題はありません。しかし、導来圏での2つの射の合成は、合成される2つの射の頂点にある第三の射を見つけることで完成します。これが確認できて始めて、well-definedで結合的な合成であることが完成します。

$K({\mathcal{A}})$ は三角圏であるため、$K({\mathcal{A}})$ の局所化 $D({\mathcal{A}})$ も三角圏となります。整数 n と鎖複体 X に対し、X を n シフトした鎖複体 X[n] を $X[n]^i = X^{n+i}$、微分を $d_{X[n]} = (-1)^n d_X$ により定義します。

定義から、$D({\mathcal{A}})$ の完全三角形は、ある鎖複体の射 $f: X \rightarrow Y$ から導かれる三角形 $X \rightarrow Y \rightarrow \text{Cone}(f) \rightarrow X[1]$ と $D({\mathcal{A}})$ において同型な三角形です。特に、${\mathcal{A}}$ 中の短完全系列 $0 \rightarrow X \rightarrow Y \rightarrow Z \rightarrow 0$ に対し、三角形 $X \rightarrow Y \rightarrow Z \rightarrow X[1]$ は、$D({\mathcal{A}})$ の完全三角形です。

${\mathcal{A}}$ の対象を次数0に集中された鎖複体とみなすと、導来圏 $D({\mathcal{A}})$ は ${\mathcal{A}}$ を充満部分圏にもちます。さらに興味深いことに、導来圏の射は、Ext群の全情報を含んでいます。すべての対象 X, Y とすべての整数 j について、$\operatorname{Hom}_{D({\mathcal{A}})}(X,Y[j])=\operatorname{Ext}_{\mathcal{A}}^{j}(X,Y)$ が成り立ちます。

射影分解と単射分解

ホモトピー同値は擬同型であることが容易に示せるので、上記の構成の第二段階は省略できる場合があります。標準的な函手 $K({\mathcal{A}}) \rightarrow D({\mathcal{A}})$ の存在が明らかであるため、定義は通常この方法で与えられます。

具体的な状況において導来圏の射を直接に扱うことは非常に困難であるか不可能であるため、導来圏に同値なより扱い易い圏を探すことになります。古典的には、射影分解と単射分解による2つのアプローチがあります。どちらの場合にも、上の標準函手を適当な部分圏へ制限することで圏同値となります。

導来函手との関係

導来圏は導来函手の研究と定義の自然なフレームワークです。${\mathcal{A}}$ から ${\mathcal{B}}$ への函手 F があるとき、右導来函手は左完全函手から、単射分解を通して計算されます。左導来函手は、右完全函手から、射影分解を通して計算されます。

導来圏によって、すべての導来函手 $R^nF$ をひとつの函手へ要約することができます。いわゆる全導来函手 $RF: D^+({\mathcal{A}}) \rightarrow D^+({\mathcal{B}})$ です。この函手は合成 $D^+({\mathcal{A}}) \cong K^+(\operatorname{Inj}({\mathcal{A}})) \rightarrow K^+({\mathcal{B}}) \rightarrow D^+({\mathcal{B}})$ であり、古典的な導来函手は、$R^nF(X)=H^n(RF(X))$ を通して、全導来函手へ関連付けられています。

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