ランベルト正積方位図法

ランベルト正積方位図法

ランベルト正積方位図法とは、地図の投影方法の一つで、方位を正しく示す特性と、面積を正確に表す特性を兼ね備えています。この図法は、特に北極または南極を中心に据える際に使用され、経線が放射状に、緯線は同心円を描く形で配置されます。

基本的な特徴

この図法を用いると、基本的に緯度がl°の緯圏を描くための半径rは、次の式によって算出されます：

r = 2R sin((90 − l)/2)

ここで、Rは地球の半径を示します。このようにして描かれた地図では、面積が正確に表示されるため、淡色的な地図や特定の地域の分布マップの作成に適しています。中心部分の歪みが少ないため、特にその周辺における地理的な情報の伝達が正確です。

また、他の地図投影法と同様に、世界全体を円形に表現する方法としては、正距方位図法などが存在します。

投影方法の定義

具体的にランベルト正積方位図法を定義するには、球体とその球体の一部に接する平面を考慮します。点Sを球体上での基準点として設定し、任意の点Pからの距離dを用いて、Pがこの平面上の点P'にどのように投影されるかを示します。Sを中心とし、Pを通り、更に考えている平面と直交するような円が存在します。この円は平面と2点で交差し、そこからP'が決まります。ただし、Sの対蹠点はこの円には含まれないため、投影から除外されます。したがって、点Sは実際には半径0の円弧に沿って自身を投影する形になります。

コンピュータでの実装

コンピュータ上でこの投影を行う際には、明示的な式が必要です。例えば、デカルト座標系において、球面上の点(x, y, z)と平面上の点(X, Y)の関係は次のように表されます：

• -

(X, Y) = (2/(1 - z))x,
(2/(1 - z))y

• -

(x, y, z) =
(1 - (X² + Y²)/4)X,
(1 - (X² + Y²)/4)Y,
-1 + (X² + Y²)/2

この関係から、円柱座標系や極座標系を使っても類似の表現が可能です。

性質と欠点

ランベルト正積方位図法は、単位球面とその上の点のうち、中心が(0, 0, 1)の場合に定義されないことが重要です。この他の点については、平面上で中心が(0, 0)とする半径2の開円板に投影されます。この射影は、球面の大部分を正確に描写するものです。

ただし、球面の曲線間における角度の保存はできず、一般には面積を正確に保持することと角度を保持することの両立はできません。地図上では球面の一部を正確に表現することが困難で、特に図法の中心から離れるほど形状に歪みが現れることがあります。これにより、実用的な地図では通常、半球までの限られた範囲で使用されることが一般的です。必要に応じて、残りの半球は別の投影法で描画することが推奨されています。

参考文献

• - Borradaile, Graham J. (2003). Statistics of Earth science data. Berlin: Springer-Verlag.
• - Do Carmo, Manfredo P. (1976). Differential geometry of curves and surfaces. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall.
• - Hobbs, Bruce E., Means, Winthrop D., and Williams, Paul F. (1976). An outline of structural geology. New York: John Wiley & Sons.

関連項目

• - ランベルト正積円錐図法
• - ランベルト正積円筒図法
• - ランベルト正角円錐図法
• - ヨハン・ハインリヒ・ランベルト

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