リュイリエの公式

リュイリエの公式

リュイリエの公式（L'Huilier's formula）は、単位球上に描かれた任意の球面三角形に着目し、その三つの辺の長さ a, b, c を用いて、三角形の球過量（spherical excess）と呼ばれる量 E を計算するための数式です。

この公式の名称は、18世紀末の著名な数学者アドリアン＝マリ・ルジャンドルに由来します。ルジャンドルは、彼自身の著書である『幾何学原論（Eléments de géométrie）』の中で、この公式を「非常にエレガントな式である」と評し、それを数学者のサイモン・アントワーヌ・ジャン・リュイリエによるものとして言及しました。この歴史的な経緯から、公式はリュイリエの名前を冠して広く知られるようになりました。

公式の意義

リュイリエの公式が算出する球過量 E は、球面三角形の面積と直接的な関係を持ちます。特に、単位球（半径が 1 の球）上では、球面三角形の面積そのものが球過量 E に等しくなります。もし半径 R の任意の球上の球面三角形であれば、その面積 S は S = R² E というシンプルな関係式で表されます。したがって、リュイリエの公式を知ることは、球面上に描かれた三角形の大きさをその辺の長さのみから把握できることを意味します。

この特性から、リュイリエの公式は、平面幾何学における有名なヘロンの公式に相当するものとして位置づけられます。ヘロンの公式が平面上の三角形の面積を三辺の長さから求めるものであるのに対し、リュイリエの公式は球面上の三角形の面積（あるいは球過量）を三辺の長さから求めるという、役割の上で対応関係にあるためです。

公式の証明について

リュイリエの公式を証明する際には、球面幾何学における他の基本的な定理が用いられます。その出発点となることが多いのが、ジラールの公式です。ジラールの公式は、球面三角形の内角の和から π ラジアン（または 180 度）を引いた値が球過量 E に等しいという、内角と球過量の関係を示すものです。

リュイリエの公式は辺の長さから球過量を求めるため、ジラールの公式に加えて、辺の長さと内角の関係を示す球面三角法の様々な公式を組み合わせる必要があります。具体的には、ドランブルの公式や、三角関数に関する和積および積和の公式などが活用されます。さらに、比例式を扱う上で便利な合除比の理（Componendo and Dividendo Theorems）といった代数的な手法も証明の過程で用いられることがあります。これらの数学的手法を順序立てて適用することで、ジラールの公式を出発点としつつ、最終的に辺の長さのみで球過量 E を表すリュイリエの公式を導出することが可能です。

日本語による文献においても、これらの手法を用いたリュイリエの公式の簡潔かつ体系的な証明が紹介されています。例えば、国土地理院から発行されている時報に掲載された論文「球面三角法の簡潔かつ体系的な理解への試み」などが、公式の導出過程を含めた球面三角法全般についての詳細な解説を提供しています。

関連概念

リュイリエの公式は、主に球面三角法の分野で扱われます。球面三角法は、球面上の点や線（大円弧）に関する幾何学を扱うものであり、天文学や航海術、測地学など、地球や天球上での位置計算や距離測定に関わる多くの分野で基礎となります。また、リュイリエの公式が平面三角形の面積公式であるヘロンの公式と対応する関係にあることは、両者の理解を深める上で重要な視点となります。これらの関連概念を共に学ぶことで、リュイリエの公式が数学全体の中でどのような位置を占めるのかをより明確に把握できるでしょう。

リュイリエの公式を含む球面三角法に関する情報は、数学専門のウェブサイトや、国立天文台が編纂する『理科年表』の付録数学公式集など、様々な資料で見つけることができます。また、現代の地理情報システムにおいても、球面上での正確な面積計算において、この種の球面幾何学の知識が応用されています。

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