ルーシェ＝カペリの定理

ルーシェ＝カペリの定理

概要

ルーシェ＝カペリの定理は、数学の線型代数学分野において、連立一次方程式（線型方程式系）の解の性質を調べるための重要な判定条件を提供する定理です。具体的には、方程式系に少なくとも一つの解が存在するかどうか、そして解が存在する場合に、その解が一意であるのか、あるいは無数に存在するのかを、係数行列と拡大係数行列という二つの行列の性質（特に階数）を用いて判断することを可能にします。

名称と歴史

この定理は、フランスの数学者ウジェーヌ・ルーシェ（Eugène Rouché）とイタリアの数学者アルフレード・カペリ（Alfredo Capelli）にちなんで名付けられています。ただし、その名称は国や地域によって異なり、例えばロシアではクロネッカー＝カペリの定理、フランスではルーシェ＝フォントネーの定理、スペインや多くのラテンアメリカ諸国ではルーシェ＝フロベニウスの定理としても知られています。これは、同様の結論や関連する概念が同時期に複数の数学者によって独立に研究されていたことを示唆しています。

定理の内容

$n$個の変数を含む一つの線型方程式系を考えます。この方程式系は、ある係数行列 $A$（例えば $m imes n$ 行列、ここで $m$ は方程式の数）と定数項ベクトル $b$ を用いて、$Ax = b$ の形で表現できます。

ルーシェ＝カペリの定理は、この線型方程式系 $Ax = b$ が解を持つための必要十分条件を与えます。それは、以下の条件が成り立つことであると述べています。

* 係数行列 $A$ の階数 (rank) が、拡大係数行列 $[A|b]$ の階数と等しい。

ここで、係数行列 $A$ の階数とは、行列 $A$ の線形独立な行（または列）の最大数を指し、行列が持つ情報の「次元」を表す指標と考えることができます。拡大係数行列 $[A|b]$ は、係数行列 $A$ に定数項ベクトル $b$ を付け加えて構成される行列です。

定理によれば、$ ext{rank}(A) = ext{rank}([A|b])$ であれば、方程式系 $Ax=b$ には少なくとも一つの解が存在します。逆に、もし $ ext{rank}(A)
eq ext{rank}([A|b])$ であれば、方程式系には解が存在しません（非両立）。

さらに、解が存在する場合（つまり $ ext{rank}(A) = ext{rank}([A|b])$ のとき）、定理は解の構造と個数についても言及しています。

解全体の集合は、$n - ext{rank}(A)$ 次元のアフィン部分空間を構成します。これは、方程式系の特殊解（任意の一つの解）に、対応する斉次方程式 $Ax=0$ の解空間（これは $n - ext{rank}(A)$ 次元のベクトル空間です）の任意のベクトルを加えることで得られる空間です。

特に、解の個数に関しては、以下の二つのケースに分かれます。

1. $n = ext{rank}(A)$ である場合: このとき、解空間の次元は $n - ext{rank}(A) = n - n = 0$ となります。これは解空間がゼロベクトルのみからなることを意味し、結果として方程式系にはただ一つの解（一意解）が存在します。
2. $n
eq ext{rank}(A)$ である場合: このとき、解空間の次元は $n - ext{rank}(A) > 0$ となります。解空間は少なくとも1次元以上のベクトル空間であるため、対応するアフィン部分空間には無数の解が存在することになります。

意義

ルーシェ＝カペリの定理は、実際に方程式系を解く前に、その解の存在性や個数を判定できるという点で非常に実用的です。特に、大規模な連立一次方程式を扱う際などに、計算の実行可能性や結果の性質を予測する上で重要な役割を果たします。行列の階数を計算することは、掃き出し法などを用いて比較的容易に行えるため、この定理は線型代数学の基本的な道具の一つとなっています。

参考文献

A. Carpinteri による"Structural mechanics" (1997)などの線型代数の標準的な教科書や参考文献でこの定理について詳しく解説されています。

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