ループ代数

ループ代数についての詳細

数学におけるループ代数は、特に理論物理学の分野で重要な役割を果たす特異なリー環の一種です。この概念は、複素リー環と滑らかな関数の代数の組み合わせから構成されています。具体的には、複素リー環を {g} とし、円周多様体 S1 における滑らかな関数の代数を C∞(S1) とした場合、両者のテンソル積 {g} ⊗ C∞(S1) がループ代数を形成します。

定義と構造

ループ代数は、リーブラケットの定義に基づいて構築されます。具体的には、任意の g1, g2 が {g} の元であり、f1, f2 が C∞(S1) の元であるとき、次のように表現されます。

$$
[g_1 ensor f_1, g_2 ensor f_2] = [g_1, g_2] ensor f_1 f_2
$$

この式は、無限次元リー環としての性質を示しており、特に S1 の各点に対して g を載せた無限のコピーが存在するわけではなく、滑らかさの条件を考慮する必要があります。すなわち、ループ代数は S1 から g への滑らかな関数、あるいは g における滑らかな径の付けられたループの集合として理解されます。

さらに、部分代数として {g} ⊗ C[t, t^{-1}] もループ代数の一種として分類され、これもまた重要な性質を持っています。

ループ群とその関係

ループ代数は、ループ群と密接に結びついています。S1 からリー群 G への全ての滑らかな写像を集めた集合は、無限次元のリー群を形成し、これをループ群と呼びます。ループ群のリー環は、前述のループ代数に対応するもので、理論物理学や数学の研究において非常に重要です。

フーリエ変換

ループ代数におけるフーリエ変換は、特定の形式で定義されます。たとえば、{g} ⊗ t^n を g ⊗ e^{-inσ} と変換する方法があり、ここで σ は S1 の座標（0 ≤ σ < 2π）です。この変換は、ループ代数に関連する多くの理論を展開する上で基盤となります。

応用

特に g が半単純リー環の場合、そのループ代数の特性が非自明な中心拡大を生み出し、アフィンリー環を形成することが知られています。このように、ループ代数は数学の抽象的な理論だけでなく、実際の物理学や他の数学的な構造においても重要視されています。

参考文献

• - Fuchs, Jurgen (1992). Affine Lie Algebras and Quantum Groups, Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X

このように、ループ代数はその独特の構造と理論の背景によって、数学や理論物理学における重要な道具となっています。

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