ローパスフィルタ

ローパスフィルタ：低周波数を通過させるフィルタ

ローパスフィルタ（Low-pass filter、LPF）は、入力信号のうち、特定の周波数（遮断周波数）以下の成分はそのまま通過させ、それ以上の周波数成分を減衰させるフィルタです。言い換えれば、高い周波数のノイズや不要な成分を除去し、低い周波数の信号を通す働きをします。ハイカットフィルタと呼ばれることもあります。

ローパスフィルタは、ハイパスフィルタ（高周波数を通過させるフィルタ）と対照的な役割を持ち、バンドパスフィルタ（特定の周波数帯域を通過させるフィルタ）、バンドストップフィルタ（特定の周波数帯域を減衰させるフィルタ）と共に、信号処理において重要なフィルタの種類の一つです。

伝達関数

連続時間におけるローパスフィルタの特性は、ラプラス変換を用いた伝達関数で表現できます。伝達関数は一般的に有理関数であり、分母の次数が分子の次数よりも大きくなります。分母の次数がnの場合、n次ローパスフィルタと呼ばれます。

1次ローパスフィルタの伝達関数は、以下の式で表されます。

`s = jω`

ここで、`s`はラプラス変換の複素周波数変数、`j`は虚数単位、`ω`は角周波数、`τ`は時定数、`K`は通過域における利得です。遮断角周波数`ωc`は、`ωc = 1/τ`で定義されます。

回路例

RC回路によるローパスフィルタ

最もシンプルなローパスフィルタは、抵抗器（R）とコンデンサ（C）を用いた1次ローパスフィルタです。抵抗器とコンデンサの積（RC）は時定数τとなり、遮断周波数に反比例します。この回路では、遮断周波数において出力電圧は入力電圧の1/√2（約-3dB）になります。

入力電圧（|Vin|）、出力電圧（|Vout|）、角周波数（ω=2πf）、コンデンサ容量（C）、抵抗値（R）を用いると、電圧利得の周波数特性は以下のようになります。

`20log(|Vout|/|Vin|)` (dB)

位相のずれは、以下の式で表されます。

`θ = -arctan(ωRC)` (rad)

オペアンプを用いたアクティブローパスフィルタ

オペアンプを使用することで、アクティブなローパスフィルタを構成できます。1次アクティブローパスフィルタの遮断周波数`fc`は、抵抗値とコンデンサ容量によって決定され、以下の式で表されます。

`fc = 1/(2πR1C)` (Hz)

通過域での利得は、`-R2/R1`で調整できます。減衰域での減衰傾度は-6dB/oct（-20dB/dec）となります。

LCローパスフィルタ

コイル（L）とコンデンサ（C）を用いることで、2次以上のローパスフィルタを構成できます。受動素子のみで構成されるため、理想的な場合、電力消費がありません。スイッチング電源やデジタルアンプの高調波除去などにも利用されます。オペアンプを追加したアクティブなLC（またはRLC）ローパスフィルタも存在しますが、電力消費が発生し、オペアンプの動作範囲に制限されます。RC回路とオペアンプの組み合わせでも高次フィルタを構成可能です。

その他の応用

ローパスフィルタは、電気回路だけでなく、様々な分野で利用されています。

画像処理: 画像中の細かい模様（高空間周波数成分）をぼかす処理に利用されます。デジタルカメラでは、アンチエイリアシングフィルタとして、モアレの発生を防ぐ目的で光学的に用いられています。
光学: 光学フィルタでは、長波長側を通過させるものをロングパスフィルタ、短波長側を通過させるものをショートパスフィルタと呼びます。デジタルカメラでは赤外光をカットするショートパスフィルタなどが使用されています。
* 変調: パルス符号変調における補間フィルタや、同期検波による位相偏移変調の復調器などに使用されます。

まとめ

ローパスフィルタは、そのシンプルな構成と多様な応用から、信号処理において非常に重要な役割を果たしています。用途や要求される特性に応じて、適切な回路構成を選択することが重要です。

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