ワイルの指標公式

ワイルの指標公式

数学の表現論において、ワイルの指標公式（Weyl character formula）は特に重要な役割を果たします。この公式は、コンパクトリーディ群の既約表現をその最高ウェイトを用いて記述するものです。この公式は、初めてHermann Weylによって1925年から1926年にかけて証明されました。

導入

表現論は、群の構造を線形代数的な方法で理解するための強力な手法を提供します。具体的には、群はその表現を通じて、線形変換の形で作用します。公式によると、ある群Gの表現rの指標は、群の元gに対するr(g)のトレースとして定義されます。このように、既約表現はすべて有限次元であることがピーター・ワイルの定理に由来しており、トレースの概念は線型代数学に基づいています。

ワイルの指標公式の内容

ワイルの指標公式は、複素半単純リー環
\( \mathfrak{g} \) の既約表現Vの指標 \( ch(V) \) を以下のように表します：

$$
ch(V) = \frac{\sum_{w \in W} \varepsilon(w) e^{w(\lambda + \rho)}}{e^{\rho} \prod_{\alpha \in \Delta^{+}}(1-e^{-\alpha})}
$$

ここで、\( W \) はワイル群、\( \Delta^{+} \) は正ルートの集合で、\( \rho \) は正ルートの半和を表します。また、\( \lambda \) は表現Vの最高ウェイトです。ワイルの指標公式の最大の特長は、指標自体が多くの指数の和で構成されている点です。

指標の特徴

指標は、その本質的な性質として、複数の指数の交代和に関連付けることができます。この公式では、実際の計算において多くの項が打ち消し合い、最終的に生き残る項は限られた数となります。生き残る項には、最高ウェイトに応じたものが含まれ、特に、この公式における重要な点は、存在する項が一度だけ現れるという事実です。これにより、指標とワイルの分母の構造が相互に関連していることがわかります。

例と応用

コンパクト連結リー群 \( G \) の既約表現の指標は以下の式で表されることが知られています：

$$
ch(V) = \frac{\sum_{w \in W} \varepsilon(w) \xi_{w(\lambda + \rho) - \rho}}{\prod_{\alpha \in \Delta^{+}}(1 - \xi_{-\alpha})}
$$

ここで、\( \xi_{\alpha} \) は極大トーラス上の指標を示します。具体的な計算を行うことで、特定の表現におけるトレースはより明確になります。さらに、ワイルの次元公式により、最高ウェイト \( \Lambda \) を持つ有限次元表現の次元も関係付けられます。

連続体表現への一般化

ワイルの指標公式は、実簡約群の既約許容表現にも一般化され、ハリシュ-チャンドラの指標公式として知られています。この公式は、群のカルタン部分群を使って表現されます。具体的には、例えば、表現 \( \pi \) に対する指標 \( \Theta_{\pi} \) は、群の正則元と関連付けて計算されます。

結論

ワイルの指標公式は表現論の中心的な結果であり、コンパクトリー群の理解を深める上で不可欠な役割を果たしています。公式は、指標の計算において多くの応用を持っており、現代の数学において広く用いられています。また、この公式は他の分野、例えばカッツ・ムーディ代数やアフィンリー環にも適用され、数学の多くの分野で重要な研究テーマとなっています。

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