ワイル群

ワイル群について

数学の分野、特にリー環の理論では、「ワイル群」と呼ばれる構造が重要な役割を果たしています。これは、特定のルート系に対する等長変換群の一種で、ルートに直交する超平面に関する鏡映によって生成されます。この群は、有限鏡映群であり、抽象的には有限コクセター群として特定されることが多いです。ワイル群は、さまざまなリー群やリー環に対するルート系と密接に関わっており、特に半単純リー群、半単純リー環、線型代数群などの研究において不可欠です。

ワイル群の名称は、著名な数学者ヘルマン・ワイル（Hermann Weyl）に由来しています。彼の業績は、数学における対称性の理解を深め、特に物理学や他の数学の分野にも広く影響を与えました。

ワイルの部屋

次に、ワイル群に関する重要な概念である「ワイルの部屋」について紹介します。ワイルの部屋は、ルート系によって定義される超平面を取り除くことで形成されるユークリッド空間の有限個の開集合です。これらの部屋は、ワイル群の作用によって置換し合い、定理によりこの作用は単純に推移的であることが示されています。特に面白いのは、ワイルの部屋の数がワイル群の位数に等しいという点です。

任意の非零ベクトルが、対応する超平面に基づいて2つの半空間に分割されます。これにより、特定のワイルの部屋に属するベクトルは、対応するルートがどの半空間に入るかによって分類されます。この分類を用いて、ワイルの部屋、集合Φ+（正ルート）、および底となる単純ルートの集まりが互いに関連付けられ、ワイル群の作用がいずれにも単純推移的であることが分かります。

コクセター群構造

ワイル群は、鏡映で生成されるため、有限鏡映群の一例であり、抽象的にはコクセター群としての性質も持ちます。このことは、ワイル群が特別な形式の表示を持つことを意味します。各生成元は位数2を持ち、他の関係は特定の形（x_ix_jの形）で表現されるからです。

このような特性により、ワイル群はブリュア順序および長さ関数を持ちます。そのため、ワイル群の各元の長さは、標準的な生成元を用いて最短の単語列の長さと定義されます。ここで特に意義深いのが、コクセター群において最長元が一意に存在し、ブリュア順序が単位元に対して反対称であることです。

具体例

具体的な例として、リー環「sln」におけるワイル群はn元の対称群Snとなります。この群は、特定のカルタン部分環からの行列による作用によって表現されるため、非常に扱いやすいです。

ワイル群の定義

ワイル群はさまざまな文脈（リー環、リー群、対称空間など）に応じて異なる方法で定義できます。特に、リー環においては、ルートの鏡映によって生成される鏡映群として特徴付けられます。リー群のワイル群は、対応するリー環のワイル群と同型であり、これにより各種リー環とリー群との関係が確立します。

結論

ワイル群は、数学、特にリー環やリー群の研究において非常に重要な役割を果たします。各種理論や性質は、物理学や他の数学の分野における対称性の理解をまた深めており、ワイル群に関する研究は今後も続けられることでしょう。

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