既約表現

既約表現の基礎と応用

群や多元環の表現論において、既約表現は真の閉部分表現を持たない非零表現を指します。これは数学的な構造を理解するための重要な概念です。特に、有限次元の複素内積ベクトル空間上のユニタリ表現は、既約表現の直和として見ることができます。また、既約表現は常に直既約で、他の表現の直和には分解できない性質を持ちます。この特性は、数学的な議論や証明において非常に重要です。

表現の定義と不変性

表現とは、群 G の元を線形変換としてベクトル空間 V に作用させるものであり、通常は行列を通じてこの変換を扱います。まず、群 G の表現 ρ をベクトル空間 V 上の写像 ρ: G → GL(V) と定義します。V の基底を設定すると、ρ は行列の集合を介して表されるため、行列表現とも呼ばれます。

次に、V の部分空間 W が G-不変であるとは、任意の群の元 g と W の元 w に対して、gw ∈ W が成り立つことを意味します。この条件下での表現制限を考えると、それは部分表現と見なされます。表現 ρ が既約であるとは、自明でない部分表現が存在しないことを表しています。

表現の記法

群の元は通常、ラテン小文字（a, b, c など）で表し、群の乗法は記号を省略して ab と記します。このような記法に従い、表現 D に対する群の元 a の行列は次のように表現されます：

$$
D(a) = \begin{pmatrix} D(a)_{11} & D(a)_{12} & \cdots & D(a)_{1n} \\ D(a)_{21} & D(a)_{22} & \cdots & D(a)_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ D(a)_{n1} & D(a)_{n2} & \cdots & D(a)_{nn} \end{pmatrix}
$$

表現の定義により、群の元の積は行列の積に対応します：

$$ D(ab) = D(a)D(b) $$

この関係性により、群の単位元 e に対する行列 D(e) は単位行列である必要があります。この原則は、群の他の元についても当てはまります。

直可約と直既約表現

表現が直可約であるとは、それが相似行列 P によって行列が一様なパターンの対角ブロックに変換できることを指します。この場合、各ブロックが独立した群の表現を与えます。対照的に、表現行列がこのようなブロック対角形にできない場合、該当する表現は直既約と呼ばれます。

歴史的背景

群の表現論は、1940年代にリチャード・ブラウアーによって一般化され、行列作用素に基づくモジュラー表現論が発展しました。現在の表現論では、既約表現の構造は単純加群と関連付けられています。

結論

既約表現は数学や物理学において、その理論構築や現象の理解に際し重要な役割を果たしています。群の表現に関する理論は、様々な分野での応用を可能にし、理論物理学や抽象代数学の基盤を支えています。

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