ヴィタリ集合

ヴィタリ集合の概要

数学の分野において、ヴィタリ集合とは1895年にジュゼッペ・ヴィタリによって構築された、ルベーグ測度において可測でない実数の集合の一例です。この集合は、不思議な特性を持っており、選択公理に依存して存在が保証されます。

可測集合とは

通常、集合に対して「長さ」や「重さ」を定めることができます。例えば、区間 [0, 1] は長さ1を持つと考えられます。さらに、一般的に区間 [a, b] （a ≤ b）の長さは b - a で表され、この考え方は物理的な対象における質量の定義にも適用できます。このように、集合に対して定義できる長さや重さの概念は、数学的測度論の基礎となっています。

しかし、実数直線上の任意の部分集合 E に対して、必ずしも分かりやすい長さや重さを規定できるわけではありません。例えば、区間 [0, 1] 内の有理数の集合について考えると、その長さは一体どのように定義されるべきでしょうか。一般的な測度であるルベーグ測度を用いると、このような有理数の集合には長さがゼロという値が割り当てられます。これに対し、ルベーグ可測集合に関する理論は、可測性と非可測性の双方を捉えています。

ヴィタリ集合の構成

ヴィタリ集合は、有理数体 Q が定義する実数体 R の商群 R/Q を用いて構築されます。具体的には、有理数の加法に関連して実数が形成する同値類を考えると、これを用いて R の分割が得られます。この商群の元は、まるで無限に多様な「平行移動コピー」のように振る舞い、各元は実数の密な集合に一致します。

このようにして得られた集合がヴィタリ集合と呼ばれます。特定の条件、すなわち R の各元に対して、その元から有理数を引いた結果自体もその集合の元でなければなりません。このヴィタリ集合は不可算な要素を含み、さらに異なる要素同士の差も必ず無理数となります。

ヴィタリ集合の非可測性の証明

ヴィタリ集合の特異な性質を明らかにするためには、その可測性を仮定し、それに伴う矛盾を導くことが有効です。まず、[-1, 1] 内の有理数を一つずつ列挙します。このリストから派生して、成功的に生成される各集合同士は互いに交わらず、ルベーグ測度の可算性を利用して全体の測定を行います。

ここで、集合の長さや重さに関する連続的な性質を考えると、次の矛盾にぶつかります。1つの値の無限和はゼロか無限大に発散するため、特定の範囲内には存在し得ないのです。これは、ヴィタリ集合が可測であるとは言えないことを示唆しています。

このように、ヴィタリ集合は数学における重要な議論の一環であり、選択公理の下で浮かび上がる非可測の世界がどのように構成されるかを示しています。コンセプトは非常に抽象的ですが、その影響は定義された数学の枠を超えて応用され、数学的理論に深い影響を与えています。

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