一様加群

ユニフォーム加群に関する詳細

概念の定義と概要

抽象代数学の分野において、加群の一つの重要な概念が「ユニフォーム加群」です。このような加群は、任意の二つの非零部分加群の共通部分が零でない場合に成り立ちます。これは、すべての非零部分加群が本質部分加群であるという特性を示しています。また、環が自身の右（または左）加群としてユニフォームであるとき、これを「右ユニフォーム環」または「左ユニフォーム環」と呼びます。

このユニフォーム加群の概念は、Alfred Goldieによって加群の次元を計測するために用いられ、現在では「ユニフォーム次元」または「ゴルディー次元」として知られています。この次元は、ベクトル空間の次元を部分的に一般化するもので、特に有限ユニフォーム次元は、環が半単純環において右整環であることを特徴づけるための重要な条件を与えています。ユニフォーム次元が有する特性は、アルティン加群やネーター加群の一般化にも貢献しています。

ユニフォーム次元の特性

文献によってはこのユニフォーム次元を単に「加群の次元」や「加群のランク」とも呼ぶ場合がありますが、Goldieの加群の被約ランクと混同しないように注意が必要です。また、ユニフォーム加群の性質は、直和や商加群においては保存されないことがあり、特に二つの非零ユニフォーム加群の直和は、共通部分を持つ二つの部分加群を含むことに注意が必要です。

単列加群は常にユニフォーム加群であり、さらに、ユニフォーム加群は直既約の性質を持ちます。任意の可換整域はユニフォーム環としての特性を持つため、具体的には二つのイデアルに属する非零元の積が、イデアルの共通部分の非零元であることが示されています。

ユニフォーム次元の定義

加群の次元をユニフォーム部分加群を用いて定義することができます。

定理

加群Mのユニフォーム部分加群の有限個の集合UiとVjに対して、次の条件が成り立つとします：

• - `⊕_{i=1}^{n}U_{i}` と `⊕_{i=1}^{m}V_{i}` がいずれも M の本質部分加群であるとき、n = m です。

これは、加群Mのユニフォーム次元をu.dim(M)と表記し、nを次の条件下で定義します：

• - ユニフォーム部分加群Uiの有限集合が存在し、`⊕_{i=1}^{n}U_{i}`が M の本質部分加群である場合、n が定義されます。

もしそのような部分加群が存在しなければ、u.dim(M) は∞と定義されます。また、環のユニフォーム次元を議論する際には、どちらの方向で計測されているかを明確にする必要があり、特にユニフォーム次元が左右で異なる場合がある点にも留意してください。

加群 M の部分加群 N については、常に u.dim(N) ≤ u.dim(M) が成り立ち、等号が成立するのは N が M の本質部分加群であるときのみです。この性質により、M とその移入包絡 E(M) は常に同じユニフォーム次元を持つことが確認できます。

コユニフォーム次元とホロー加群

ユニフォーム加群の双対の概念として「ホロー加群」があります。加群Mがギャップを解消できる部分加群N1とN2を持つならば、N1 または N2 が M でなければなりません。この場合のホロー次元やコユニフォーム次元は、ユニフォーム次元と同様に、加群の新たな性質を推き出す手助けとなります。

研究文献としては、FleuryやVaradarajanによる多くの研究があり、Goldie次元の双対化やホロー次元の定義に関する洞察が提供されてます。特に、有限生成加群が常に有限ユニフォーム次元を持つ一方、有限ホロー次元を持つかどうかに関しては、様々な議論が展開されています。

このように、ユニフォーム加群およびその次元に関する理論は、抽象代数学における重要な基盤を形成し、さまざまな分野に応用されています。

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