半単純環

半単純環の概念

半単純環は数学の中でも特に代数学の分野において頻出する概念で、加群やリー代数といった他の数学的構造とも深く関連しています。環 A が半単純であるとは、A を A-加群として見たときに半単純加群と同型である場合を指します。要するに、半単純環は、非自明な部分加群を持たない加群の直和として表現できる環です。

半単純加群と単純加群の違い

まず、単純加群と半単純加群について理解することが重要です。M が単純加群であるというのは、M が零加群でなく、その部分加群が零加群と M のみであることを意味します。よって、例えば体上のベクトル空間 M の次元が1であれば、それは単純加群です。また、M が半単純加群であるためには、M が非自明な単純 A-加群の直和に同型である必要があります。このため、半単純加群は多くの単純な加群に分けられるという特徴を持ちます。具体例として、体上のベクトル空間はその次元に依存せず、常に半単純であることが知られています。

半単純環の定義

環 A が半単純であるとは、左 A-加群として見たときに、A が半単純加群であることを意味します。驚くべきことに、左半単純環の概念は右半単純環のそれとも同じです。可換体上の多元環が半単純であるためには、それ自体が半単純環である必要があります。これは、左 A-加群としての部分加群が A の左イデアルであるため、A の任意の元を二つの部分加群の直和として表せることにも関連しています。

半単純環の具体例

半単純環の具体例はいくつかあります。一つは零環であり、これは明らかに半単純です。また、すべての可換または非可換の体も半単純環として考えられます。単純環が半単純環であることは、アルティン環とも同値であるため、体上の任意の有限次元ベクトル空間に対して、その環である EndD E や Mn(D) も半単純環となります。この他、半単純環の直積もまた半単純であり、これは特に加群の性質とも深く関連しています。

半単純環の性質

半単純環はホモロジー代数的に重要な性質を持っています。例えば、環 A が半単純であるためには、任意の左 A-加群が半単純であることが必要です。また、任意の巡回左 A-加群も射影加群であることが示され、これは半単純性の特徴を裏付けています。加えて、半単純環の中心はその各単純成分の中心の直積環であることが知られており、可換体の有限個の直積環と同型であることが確認されています。

半単純環の構造とアルティン・ウェダーバーンの定理

重要な点として、アルティン・ウェダーバーンの定理があります。これは任意の半単純環が、有限個の単純アルティン環の直積として一意に記述できるというものです。このため、半単純環の分類は単純アルティン環の分類へと帰着します。単純アルティン環は、行列環 Mn(D) の形式を持っており、この結果は多くの数学的な応用を持ちます。

結論

半単純環に関する研究は代数学において重要な位置を占めており、その定義や性質に関する理解は、線型代数学や数論、表現論の様々な分野に関連しています。特に、半単純環の概念は現代の代数的理論の基礎を支えるものであり、今後もその重要性は薄れることはありません。

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