ネーター加群

ネーター加群の概念と特性

抽象代数学の一部として、ネーター加群は非常に重要な役割を果たしています。この加群の特徴的な点は、部分加群に対して昇鎖条件が適用されることです。具体的には、部分加群の集合が、集合の包含関係に基づいて順序付けられ、空でない集合が極大元を持つという特性があります。また、すべての部分加群が有限生成であるという条件も満たさなければなりません。

歴史的背景

ネーター加群という名称は、数学者エミー・ネーターに由来していますが、彼女がこの概念を初めて提唱したわけではありません。実際、ヒルベルトが多変数多項式環とその理論について研究した際に、有限生成部分加群の性質を示す重要な定理を確立しました。この定理は「ヒルベルトの基底定理」として知られ、任意の体上の多変数多項式環のイデアルが有限生成であることを示しています。しかし、エミー・ネーターはこの理論を深化させ、より一般化しました。

ネーター加群の特徴

ネーター加群は、次の2つの条件を満たす必要があります。
1. 部分加群の集合は極大元を持つこと（極大条件）。
2. 全ての部分加群は有限生成でなければならない。

さらに、ある加群 M がネーター的であるためには、その部分加群 K と商加群 M/K が同時にネーター的である必要があります。これは、一般的な有限生成加群に関する考察とは異なる点です。

具体例

いくつかの具体的な例を挙げてネーター加群の理解を深めてみましょう。

• - 整数環は、その自身の上においてネーター加群です。
• - 行列環 R = Mn(F) において、M = Mn 1(F) が F の縦ベクトル全体の集合である場合、M は R の行列により加群としての構造を持っています。これもまたネーター加群です。
• - 集合が有限である任意の加群は必ずネーター加群であり、これは非常に重要な特性です。
• - 右ネーター環上にある有限生成の任意の右加群もネーター加群に分類されます。

ネーター性の拡張

ネーター加群の概念は、他の代数構造にも延長されます。たとえば、右ネーター環 R は、右からの積としてその加群の性質を持つ場合に右ネーター加群と称され、同様に左 R 加群としてネーター的であれば左ネーター環と呼ばれます。可換環においては、左右の区別はしなくても問題ありません。

さらに、ネーター性は両側加群にも適用されます。ネーター両側加群とは、両側加群において部分両側加群が昇鎖条件を満たす場合を指します。この場合、部分両側加群は当然として左 R 加群としても考慮されます。したがって、左 R 加群としてネーター的であれば、M は自動的にネーター両側加群になります。ただし、場合によっては両側加群としてはネーター的でも、左または右加群としてはネーター的でないこともあります。

関連項目

• - アルティン加群
• - 昇鎖条件
• - 組成列
• - 有限生成加群
• - クルル次元

参考文献

• - Eisenbud, D. (1995). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag.

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