一般化双曲型分布

一般化双曲型分布 (Generalized Hyperbolic Distribution, GH)

一般化双曲型分布（Generalized Hyperbolic Distribution, GH）は、統計学や数理ファイナンスの分野で重要な役割を果たす連続確率分布です。この分布は、正規分散平均混合モデルを用いて定義され、特に一般化逆ガウス分布（GIG分布）が混合分布として利用される形式をとります。1977年に統計学者のオレ・アイラー・バーンドルフ＝ニールセンによって初めて提唱されました。

GH分布の大きな特徴の一つは、その柔軟性にあります。この分布は、標準的な正規分布では捉えきれないような、データにおける尖度（分布の裾の厚さ）や歪度（分布の非対称性）といった性質を表現するのに非常に適しています。このため、特に金融市場における株価の対数リターンや為替レートの変動など、経験的に裾が厚く、非対称な分布を示すことが多いデータのモデル化に広く活用されています。

確率密度関数

一次元の場合のGH分布の確率密度関数は、以下の五つのパラメータによって特徴付けられます。

μ (位置パラメータ): 分布の中心位置を決定します。
δ (尺度パラメータ): 分布の広がり（尺度）を制御します。
α (形状パラメータ): 分布の尖度（裾の厚さ）と密接に関わります。βと共に、分布の形状を決定する主要なパラメータです。
β (歪度パラメータ): 分布の非対称性（歪み）を制御します。βが0のとき分布は対称になります。
λ (形状パラメータ): 分布の全体的な形状に影響を与え、特に様々な既知の分布をGH分布の特殊なケースとして導出する際に重要な役割を果たします。

この確率密度関数には、第3種の変形ベッセル関数と呼ばれる特殊な数学関数が含まれており、パラメータの複雑な組み合わせによって分布の具体的な形状が記述されます。パラメータの有効な範囲はλの値によって異なり、これらが分布が well-defined となるための条件となります。

統計的な性質

GH分布は、その確率密度関数から、期待値や分散、さらに高次のモーメントやモーメント母関数、特性関数といった統計的な性質を計算することが可能です。これらの量は、分布の中心、ばらつき、歪み、尖度などを定量的に評価するために用いられます。GH分布のこれらの統計量は、前述のパラメータ λ, α, β, δ, μ と変形ベッセル関数を用いて表現されます。

包含する重要な分布

一般化双曲型分布の重要な側面は、パラメータ λ の特定の値や、パラメータ間の特定の関係において、統計学でよく知られた他の多くの確率分布を特別なケースとして包含している点です。これにより、GH分布は非常に汎用的なモデルフレームワークを提供します。

具体的には、以下の分布がGH分布の特殊な形として現れます。

λ = 1 の場合: 双曲型分布 (Hyperbolic Distribution, HYP) となります。この分布は、対数スケールでプロットした際に双曲線のような形を示すことから名付けられました。

λ = -1/2 の場合: 正規逆ガウス分布 (Normal Inverse Gaussian Distribution, NIG) となります。金融データのモデリングでGH分布と並んで頻繁に用いられる分布です。

正規逆ガウス分布のさらに特殊なケースとして、λ = -1/2 かつ α = β = 0 の極限では、コーシー分布が現れます。コーシー分布は、期待値や分散が定義されない「重い裾」を持つ分布として知られています。

λ = -ν/2 かつ α が |β| に近づく極限 (β ≠ 0) の場合: 非対称なスチューデントのt分布となります。通常対称なt分布を、GH分布の枠組みで非対称に拡張した形です。

λ = -ν/2, α = β = 0, δ = √ν の場合: 一般的によく用いられる（対称な）スチューデントのt分布となります。これは、正規分布よりも裾が厚い分布として、少標本での統計的推論などで利用されます。

* α → ∞, δ → ∞ かつ δ/α → σ² の極限の場合: 正規分布となります。GH分布のパラメータを特定の極限に持っていくと、統計学で最も基本的な分布である正規分布が得られます。

これらの例からわかるように、GH分布は非常に多様な分布形状を表現でき、正規分布から裾の厚い分布、対称な分布から非対称な分布まで、幅広いデータをモデル化するための強力なツールとなります。

応用

GH分布は、その柔軟性から、特に金融工学においてリスク管理、ポートフォリオ最適化、デリバティブ価格付けなどの目的で、資産価格の変動やリターンの分布をモデル化するのに頻繁に用いられています。また、その他の分野でも、データ分布が正規性から逸脱している場合に有効なモデルとして検討されます。

総じて、一般化双曲型分布は、複雑なデータ構造、特に裾の厚さや非対称性を持つデータを解析するための洗練された数学的ツールと言えます。

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