一般線形モデル

一般線形モデル (GLM) についての詳細

一般線形モデル（General Linear Model、GLM）は、統計学において幅広く利用されるモデルであり、特に多変量データの分析において重要な役割を果たします。GLMは、残差が多変量正規分布に従うことを前提とした線形モデルの一種であり、関連する概念として一般化線形モデル（Generalized Linear Model）があります。これらのモデルはどちらもGLMの略称で呼ばれることが多いですが、R言語においてはそれぞれlm()およびglm()という関数で実装されています。

概要

一般線形モデルは以下の数式で表されます。

$$ Y = XB + U $$

この式の各要素は次の通りです。

• - Y: 多変量データ行列
• - X: 計画行列
• - B: 予測されるパラメータを含む行列
• - U: 残差 (誤差) を表す

このモデルの特性として、残差が多変量正規分布に従うことが求められます。一般線形モデルは線形回帰、t検定、F検定、さらに分散分析（ANOVA）や共分散分析（ANCOVA）など、さまざまな統計解析手法に関連しています。例えば、Yの行数が1の場合、従属変数一つの重回帰分析にも一般線形モデルを適用することが可能です。

利用分野

一般線形モデルは、特に神経画像処理（neuroimaging）において頻繁に利用され、ここでのYは脳スキャナーから得られるデータ、Xは実験に基づいて設計された変数となります。このように、GLMは神経科学の研究においてデータの解析手法として非常に有用です。さらに、統計的パラメトリックマッピング（SPM）における多変量解析でもGLMが重要な役割を果たしています。

ソフトウェア

一般線形モデルを計算するためのソフトウェアは多く存在します。特に、SPSSやRといった統計解析ソフトは、一般線形モデルの構築と解析を容易にする機能が備わっています。これらのツールを使うことで、複雑な多変量データを効果的に扱えるため、研究者やデータアナリストにとって非常に利便性の高い選択肢となります。

関連項目

一般線形モデルは一般化線形モデル（GLM）との関連がありますが、両者の違いを理解することも重要です。一般化線形モデルは、より広範な条件下でのデータ分析を可能にするため、様々な分布に対応できる特性を持っています。また、線形混合モデルは、一般線形モデルに固定効果だけでなく変量効果も同時に考慮できるように拡張されたモデルであり、複雑なデータ構造の解析に適しています。これにより、さまざまな分野での応用が拡がることになります。

一般線形モデルを理解し活用することで、データの背後にある関係性をより明確に把握でき、分析結果の解釈が格段に容易になります。

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