三十七角形

正三十七角形：幾何学と代数の融合

正三十七角形は、37本の辺と37個の頂点を持つ多角形です。内角の総和は6300°、対角線の数は629本になります。一見複雑なこの図形は、幾何学的な性質と代数的な解法、そして作図可能性という点で、数学的な興味深い課題を提示します。

面積の算出

一辺の長さがaである正三十七角形の面積Sは、以下の式で表されます。

S = (37/4)a²cot(π/37) ≒ 108.67963a²

この式は、正多角形の面積公式を37角形に適用したものです。cot(π/37)は、π/37の余接を表し、計算によって面積を近似的に求めることができます。

cos(2π/37)の表現

正三十七角形の中心角と外角は9.729…°、内角は170.27…°になります。この角度の余弦であるcos(2π/37)は、平方根と立方根を用いて表現できます。しかし、その導出は容易ではありません。

まず、cos(kπ/37)とcos(2⁹kπ/37) (=cos(-6kπ/37))という二つの式を、和積公式とcos(π-θ)=-cosθの関係を用いて変形します。この操作を繰り返すことで、最終的に三次方程式、そして二次方程式を解く必要が出てきます。

この過程で現れる中間結果の三次方程式は、以下のようになります。

u³ - λ₁u² + (λ₂-1)u + (λ₁-2) = 0
w³ - λ₃w² + (λ₁-1)w + (λ₃-2) = 0

ここで、u₁とw₁はこれらの三次方程式の解であり、それらを用いてcos(2π/37)は以下のように表せます。

cos(2π/37) = (u₁ + √(u₁²-4w₁))/4

さらに、u₁とw₁は、三角関数、逆三角関数を用いた複雑な式で表すことも可能です。この式は、λ₁, λ₂, λ₃といったパラメータを含み、その具体的な値を求めるにはさらなる計算が必要です。最終的には平方根と立方根を用いた表現にたどり着きますが、その式は非常に長くなります。

別解として、cos(2π/37)を二次方程式→三次方程式→三次方程式の順で解く方法もあります。この方法では、いくつかの変数を定義し、三角関数の積和公式や解と係数の関係を繰り返し用いることで、最終的にcos(2π/37)を求めることができます。

作図可能性

正三十七角形は、定規とコンパスのみを用いた作図が不可能な図形です。これは、37がフェルマー素数ではないためです。しかし、折紙を用いることで、正三十七角形の作図が可能です。折紙による作図は、幾何学的な操作によって角度を分割し、正三十七角形の頂点を正確に配置することで実現されます。

まとめ

正三十七角形は、その幾何学的な性質だけでなく、代数的な解法の複雑さ、そして作図可能性の点においても数学的に非常に興味深い図形です。面積計算の比較的容易な式とは対照的に、cos(2π/37)の表現は、高度な数学的手法を必要とします。これは、正多角形の性質が、単純な幾何学を超えた、より深遠な数学的世界に繋がっていることを示唆しています。

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