立方体倍積問題

立方体倍積問題とは

立方体倍積問題は、古代ギリシア時代から知られる有名な数学難問であり、三大作図問題の一つに数えられます。この問題は、与えられた立方体の体積を正確に2倍にする新しい立方体を作図するというものです。具体的には、一辺の長さが s である立方体があったとき、その体積（V = s³）の2倍、つまり体積が 2V となる立方体の一辺の長さ（s・∛2）を求めるという問題です。

この問題の難しさは、定規とコンパスのみという制約条件にあります。∛2 という値が作図可能な数ではないため、この制約下では立方体倍積問題が解決不可能であることが証明されています。

歴史的背景

立方体倍積問題は、別名「デロス島の問題」としても知られています。これは、アポロン神殿の祭壇の大きさを2倍にするよう神託を受けたデロス島の住民が、この問題に直面したことに由来します。当時の人々は、この問題を数学的な問題と捉え、解決策を模索しました。

プラトンは、この神託を、人々が幾何学や数学を学ぶための動機付けと解釈しました。彼は、エウドクソス、アルキタス、メナイクモスといった数学者たちにこの問題を与え、解決を試みさせました。メナイクモスは機械的な手段で解決しましたが、プラトンは純粋な数学的解法を求めていたため、その解法を非難しました。

キオスのヒポクラテスは、この問題が、ある線分と2倍の長さの別の線分との間に2つの比例中項を求める問題と等価であることを発見しました。これは、後の数学的進歩に大きく貢献しました。

数学的解決と不可能性の証明

1837年、ピエール・ヴァンツェルによって、∛2 が作図可能な数ではない、すなわち定規とコンパスのみでは作図不可能であることが厳密に証明されました。これにより、長年の間、多くの数学者たちが挑んできた立方体倍積問題は、作図不可能であることが確定しました。

メナイクモスは、円錐曲線の交点を利用してこの問題を解決しました。その他にも、シッソイド、コンコイド、Philo lineなどを用いた解法が提案されました。また、アルキタスは回転体の交点を利用した解法を示しました。

興味深いことに、折り紙を用いると∛2 の値を求めることが可能です。しかし、これは定規とコンパスのみという制約から外れるため、作図による解法とはみなされません。

まとめ

立方体倍積問題は、古代から続く数学の難題であり、その解決への試みは数学の発展に大きな影響を与えました。最終的に、定規とコンパスのみでの作図は不可能であることが証明されましたが、この問題を通じて、作図可能性に関する理解が深まりました。現在では、数学史における重要なテーマの一つとして、この問題は語り継がれています。

参考文献

大辞林 第三版『立方体倍積問題』 - コトバンク
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典『立方根』 - コトバンク
Weisstein, Eric W. "Cube Duplication". mathworld.wolfram.com (英語)
Doubling the cube. J. J. O'Connor and E. F. Robertson in the MacTutor History of Mathematics archive.
To Double a Cube – The Solution of Archytas. Excerpted with permission from A History of Greek Mathematics by Sir Thomas Heath.
Delian Problem Solved. Or Is It? at cut-the-knot.

関連項目

円積問題
角の三等分問題

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