不足数

不足数とは

不足数（ふそくすう、英: deficient number）とは、自然数の一部であり、その約数の総和が元の数の2倍より小さい数を指します。これを別の観点から見ると、自己を除く約数の総和がその数自体よりも小さい場合、同様に不足数とされます。言い換えれば、ある数 n に対して、約数関数 σ(n) が 2n よりも小さい時、この数は不足数なのです。

例えばですが、数の15を考えてみましょう。この数の約数は 1、3、5、15 であり、その総和は 24 になります。ここで、24 は 15 の2倍、すなわち30よりも小さいことから、15は不足数です
また、15の自己を除く約数の合計である 1 + 3 + 5 = 9は、15よりも小さく、これでも15は不足数と確認できます。

不足数の一覧

不足数は無限に存在するとされ、その中で最小の不足数は1です。1から順に不足数を挙げていくと、以下のようになります。

• - 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, ...（オンライン整数列大辞典における数列 A005100 より）

すべての素数 p において、その約数の総和は σ(p) = 1 + p であり、これが2pより小さいため、すべての素数も不足数だとされています。また、5以上の素数 p を2倍した偶数 2p の場合も、約数の総和 σ(2p) が2pを2倍したものよりも小さくなるため、これもまた不足数となります。したがって、これらの性質から奇数と偶数の不足数が無限に存在していることが分かります。

不足数に関連する数

不足数は完全数や過剰数と関連している点が興味深いです。

• - 完全数: 自己を除く約数の合計が該当数に等しい数。
• - 過剰数: 自己を除く約数の合計が計算した数よりも大きいもの。

また、概完全数についても触れておきましょう。σ(n) = 2n - 1 を満たす n も不足数として分類され、これを概完全数と称します。これらも無数に存在しており、そのうちの最小の数は1です。ただし、2の冪 2^k 形式の数が見つかっているだけで、他の形式の概完全数の存在は現在は確認されておりません。

半素数について

半素数に関しては、6を除くすべてが不足数であるという特異な特徴が見られます。このため、数における不足数の研究は数理的にも興味深く、多様な数の性質が絡み合っていることが理解できるでしょう。

不足数の研究は、数論の基本的な部分に位置し、数の性状を理解するための重要な視点を提供してくれます。

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