中置記法

中置記法：数式表現の基礎

中置記法は、算術式やプログラムにおける演算子の記述方法の一種です。私たちが日常的に使っている数式の書き方、例えば「2 + 3 × 4」のような表現が中置記法に該当します。演算子（この例では+と×）が、操作対象となる数値（オペランド、この例では2、3、4）の間に配置されていることが特徴です。

中置記法以外にも、演算子をオペランドの前に置く前置記法（ポーランド記法）や、後に置く後置記法（逆ポーランド記法）といった記法が存在しますが、初歩的な算術においては、中置記法が最も広く用いられています。その馴染みやすさが、中置記法の普及に大きく貢献しています。

中置記法の多義性と曖昧性

一見シンプルに見える中置記法ですが、複雑な式になると曖昧性が生じる場合があります。例えば、「1 - 2 + 3」という式を考えてみましょう。これは「(1 - 2) + 3」と解釈することも、「1 - (2 + 3)」と解釈することも可能です。このように、複数の解釈が可能な状態を、文法における多義性（ambiguity）と呼びます。

この曖昧性は、構文規則をどのように定義するかによって発生します。例えば、単純なBNF（Backus-Naur Form）記法で構文規則を記述した場合、上記の式は複数の構文木として解釈できる可能性があります。この曖昧性を解消するために、演算子の優先順位や結合性といった規則を導入する必要があります。

優先順位と結合性による曖昧性解消

算術演算においては、一般的に乗除算は加減算よりも優先順位が高く、同じ優先順位の演算が連続する場合には、左から右へと計算するという規則（左結合性）が用いられます。これにより、「1 - 2 + 3」は「(1 - 2) + 3」と解釈されることになります。

括弧を使うことで、計算順序を明示的に指定することも可能です。例えば、「1 - (2 + 3)」のように括弧で囲むことで、加算が先に計算されることを明確に示せます。複雑な式になるほど、括弧の使用は曖昧性を避けるために不可欠となります。

プログラミング言語における処理

プログラミング言語においては、コンパイラやインタプリタが中置記法で記述された式を解釈し、計算を実行します。そのため、プログラミング言語処理系は、優先順位や結合性といった規則を内部的に実装しています。さらに、yaccなどの構文解析ツールを用いることで、BNF記法に優先順位や結合性の規則を追加し、より複雑な式を正確に処理することが可能です。

特に再帰下降構文解析のようなLL法では、左再帰の問題を回避するために、適切な定義方法が必要となります。中置記法の処理においては、これらの技術が重要な役割を果たしています。

まとめ

中置記法は、私たちにとって自然で理解しやすい数式表現方法です。しかし、複雑な式になると曖昧性が生じるため、優先順位や結合性といった規則、そして括弧の使用が重要になります。プログラミング言語においては、コンパイラやインタプリタがこれらの規則を元に、中置記法で記述された式を正確に処理しています。

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