二次曲面

二次超曲面：高次元空間における曲面の概念

二次超曲面とは、平面上の円錐曲線をn次元ユークリッド空間へと拡張した概念です。具体的には、2次多項式の零点集合として定義される超曲面を指します。3次元空間における二次超曲面は、特に二次曲面と呼ばれています。

二次超曲面の定義

一般のn-1次元二次超曲面は、座標(x₁, x₂, ..., xₙ)を用いて以下の式で定義されます。

∑ᵢ₌₁ⁿaᵢxᵢ² + 2∑ᵢ<ⱼⁿaᵢⱼxᵢxⱼ + 2∑ᵢ₌₁ⁿbᵢxᵢ + c = 0

ここで、aᵢ, aᵢⱼのうち少なくとも一つは0ではありません。この式は、行列とベクトルを用いてより簡潔に表現できます。

係数行列Aとベクトルb、定数cを用いると、上記の式は以下のように書き直せます。

⟨Ax, x⟩ + 2⟨b, x⟩ + c = 0

ここで、⟨ , ⟩は内積を表します。さらに、拡大係数行列Rを導入することで、式はさらに簡略化できます。

⟨R~x , ~x⟩ = 0

~x = (x₁, x₂, ..., xₙ, 1)ᵀ, R = (A b; bᵀ c)

Aは二次超曲面の係数行列、Rは拡大係数行列と呼ばれ、どちらも零行列ではありません。

二次超曲面の標準形と分類

二次超曲面は、拡大係数行列Rの階数と係数行列Aの階数の関係によって分類されます。

rank R - rank A = 0: 錐面
rank R - rank A = 1: 有心二次超曲面（点対称）
rank R - rank A = 2: 無心二次超曲面（点対称でない）

退化した二次超曲面は、筒面のような形状になります。非退化な二次超曲面は、適切な直交変換によって以下の標準形に帰着できます。

錐面: a'₁X₁² + a'₂X₂² + ... + a'ₙXₙ² = 0
有心二次超曲面: a'₁X₁² + a'₂X₂² + ... + a'ₙXₙ² = 1
無心二次超曲面: a'₁X₁² + a'₂X₂² + ... + a'ₙ₋₁Xₙ₋₁² + 2bXₙ = 1

これらの標準形における係数行列は、相似変換によって対角行列Sに変換できます。

S = diag(Eₚ, -E꜀, 0)

ここで、Eₚはp次の単位行列、E꜀はq次の単位行列です。 (p, q) は符号数と呼ばれ、二次超曲面の形状を決定します。

楕円体の体積

符号数が(n, 0)である二次超曲面を楕円面といいます。楕円面は閉じた超曲面であり、その内部の体積（楕円体の体積V）はガンマ関数Γ(x)を用いて以下のように表せます。

V = (Γ(1/2)ⁿ / Γ(n/2 + 1))√(1/|A|)

これは、球の体積公式の一般化です。

2次元二次曲面

3次元ユークリッド空間R³内の二次曲面は、以下の陰関数で表されます。

Ax² + By² + Cz² + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0

この式で表される二次曲面には、錐面、双曲放物面、一葉双曲面、柱面など様々な形状があります。これらの曲面は、特定の断面が円錐曲線となる線織面として理解できます。

二次曲面の実用例

二次曲面は、建築（シェル構造、双曲放物面屋根）、通信（パラボラアンテナ、放物面反射鏡）など様々な分野で利用されています。

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