五角数

五角数について

五角数は、正五角形の形状に点を配置したときに得られる点の総数を表す自然数です。この数列は無限に存在し、その中で最も小さいのが1です。五角数は、3で割ると1余る整数を順番に足すことで定義することもできます。具体的には、5は1と4を足した結果、12は1、4、7を足した結果、92は1、4、7、10、13、16、19、22を足した結果です。これらの数は、五角数の初めのいくつかを示しています。

一般項と計算式

五角数の一般項を考えると、n番目の五角数をPnとした場合、以下の関係式が成り立ちます。

• - P1 = 1 であり、
• - Pn+1 = Pn + 3n + 1

この関係を用いて、五角数は次のように表されます。

$$
P_{n}=P_{1}+ extstyle{\sum _{k=1}^{n-1}}(3k+1)=\frac {n(3n-1)}{2}=n^{2}+T_{n-1}
$$

ここで、Tnはn番目の三角数を示します。五角数を小さい順に並べると、1、5、12、22、35、51、70、92、117、145、176、210、247、287、330、376、425、477、532、… というように続きます。これはオンライン整数列大辞典の数列A326に記載されています。

五角数の性質

n番目の五角数にはいくつかの興味深い性質があります。まず、n番目の五角数は、3n − 1番目の三角数の1/3に相当します。また、1からn番目までの五角数の平均は、n番目の三角数と等しいです。

さらに、n番目の五角数はnからのn連続整数和としても表すことができ、例えばP2は2 + 3、P3は3 + 4 + 5と表現できます。五角数は、奇数-奇数-偶数-偶数といった順序で現れるため、数のパターンが観察されます。なお、1と5以外の五角数は全て合成数です。

五角数は数学界で著名なオイラーの五角数定理にも現れる重要な数です。また、任意の自然数は、最大でも5つの五角数の和として表現可能であり、これは多角数定理と呼ばれています。

五角数の逆数を無限に足し合わせたものは、次の式で表されます。

$$
\frac {1}{1}+\frac {1}{5}+\frac {1}{12}+...=3\log {3}-\frac {\sqrt {3}\pi }{3}=1.4820375...
$$

この結果は五角数に関連する解析的な興味を引くものです。また、五角数が三角数である例としては、1、210、40755、7906276などが挙げられます。

参考文献

• - 数列に関する情報は、オンライン整数列大辞典を参照してください。

五角数は、その特異な構造と性質から、数論や幾何学において重要な役割を果たしています。

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