代数的内部

函数解析学の分野で用いられる「代数的内部」は、ベクトル空間の部分集合を特徴づける概念の一つです。「動径核（radial kernel）」とも呼ばれ、集合の「内部（interior）」という概念をより詳細に、あるいはより広い視点から捉え直すものです。集合に含まれる点のうち、その点を基点として空間内のあらゆる方向に僅かな距離だけ進んだ線分が、常にその集合内に収まるような点全体のことを指します。これらの点は「代数的内点（internal points）」と呼ばれます。

より厳密に定義すると、線型空間 X の部分集合 A の代数的内部 core(A) は、次のように表されます。

core(A) := { x₀ ∈ A | ∀ x ∈ X, ∃ t_x > 0, ∀ t ∈ [0, t_x], x₀ + tx ∈ A }

これは、集合 A に含まれる点 x₀ が代数的内部の元であるのは、空間 X 内の任意の方向ベクトル x に対して、x₀ から x の方向に一定の短い距離 t_x だけ進む間に到達する点（つまり線分 `{x₀ + tx | 0 ≤ t ≤ t_x}` 上の点）が全て集合 A に含まれる、という条件を満たす場合です。通常の意味での内部が「点の周りの小さな開球が全て集合に含まれる」という、位相構造に依存した概念であるのに対し、代数的内部は線型構造のみに基づいています。

代数的内部の性質をいくつか挙げます。一般に、集合 A の代数的内部をさらに代数的内部をとる操作を繰り返しても、必ずしも元の代数的内部と一致するとは限りません。すなわち、`core(core(A)) ≠ core(A)` となる場合があります。しかし、集合 A が「凸集合」である場合には、この繰り返し操作は変化をもたらさず、`core(A) = core(core(A))` が成り立ちます。また、A が凸集合であれば、代数的内点 x₀ と集合 A の点 y の任意の凸結合（ただし x₀ の係数が正の場合）も代数的内点となります。具体的には、`x₀ ∈ core(A), y ∈ A, 0 < λ ≤ 1` ならば `λx₀ + (1-λ)y ∈ core(A)` です。さらに、集合 A が空間全体を「併呑する（absorbing）」集合であることと、その代数的内部に原点が含まれることは同値な条件です。集合の和についても性質があり、`A + core B` は `core(A + B)` に含まれます。特に、もし B 自身が代数的内部である（つまり `B = core B` が成り立つ）ならば、この包含関係は等号 `A + core B = core(A + B)` となります。

代数的内部と線型位相空間における通常の「内部（int）」は密接に関連していますが、一般には異なります。常に成り立つ関係として、集合の通常の内部は代数的内部に含まれます (`int A ⊆ core A`)。これは、通常の意味での内点であれば、その点の周りに小さな開球が集合内に存在するため、そこに含まれる線分も当然集合内に収まるからです。しかし、代数的内点であっても通常の意味での内点ではない場合があります。例えば、`A ⊂ ℝ²` が `A = {x ∈ ℝ² : x₂ ≥ x₁² or x₂ ≤ 0}` という集合の場合を考えます。これは原点 (0,0) を含みますが、原点のどんなに小さな近傍（開球）も、集合 A に含まれない点（例えば x₁ 軸のすぐ上やすぐ下の点）を含んでしまうため、原点は A の通常の意味での内点ではありません。ところが、原点からあらゆる方向へ短い線分を進むことは可能です。実際、この例では原点 (0,0) は `core(A)` に含まれますが、`int(A)` には含まれません。さらにこの例では、原点は `core(core(A))` にも含まれません。このように、通常の内部と代数的内部、そして代数的内部の反復は異なる概念です。ただし、特定の状況下では両者は一致します。例えば、A が空でない凸集合であり、空間 X が有限次元である場合や、A が凸集合でその内部が空でない場合、あるいは A が閉凸集合で X が完備距離空間である場合などです。これらの条件が満たされるとき、`int A = core A` となります。

関連概念としては、相対的内部、準相対的内部、境界点などがあります。

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