凸集合

凸集合（とつしゅうごう）

凸集合（英: convex set）とは、数学において、ある空間内の部分集合が持つ幾何学的な性質の一つです。直感的には、「へこみのない」集合を指します。この概念は、解析学、幾何学、最適化理論など、様々な数学の分野で基礎となります。

定義

最も身近な例であるユークリッド空間において、ある図形や物体が凸であるとは、その図形に含まれる任意の2つの点を選んだとき、それら2点を結ぶ線分上の全ての点が、常にその図形内部に含まれることを言います。

より一般的に、ベクトル空間における集合 C が凸であるとは、C に属する任意の2つのベクトル x と y、および0以上1以下の任意の実数 t に対して、点 (1 − t)x + ty もまた C に属することを指します。ここで、(1 − t)x + ty という形は、x と y を結ぶ線分上の点を表しています。

例えば、内部が詰まった円盤、立方体、三角形などは凸集合です。一方で、三日月形、星形、アルファベットの「C」のような形は、内部にへこみがあるため凸集合ではありません。

また、実数全体の集合 R における凸部分集合は、単なる区間（開区間、閉区間など）に他なりません。2次元や3次元ユークリッド空間では、プラトンの立体（正多面体）やアルキメデスの立体などが凸集合の例として挙げられますが、ケプラー・ポアンソ多面体は凸集合ではありません。

狭義凸集合 (strictly convex set) とは、2点を結ぶ線分の端点以外の全ての点が集合の内部に含まれるような凸集合です。

絶対凸集合 (absolutely convex set) とは、凸集合であると同時に均衡集合でもある集合を指します。

非凸集合 (non-convex set) は、凸集合ではない集合のことです。特に、多角形が凸でない場合に「凹多角形」と呼ばれることがありますが、「凹集合」という用語は非凸集合全般に対してはあまり一般的ではありません。

性質

ベクトル空間における凸集合 C に属する任意の有限個の点 u₁, u₂, ..., uᵣ と、それらに対応する非負の実数 λ₁, λ₂, ..., λᵣ （ただし、λ₁ + λ₂ + ... + λᵣ = 1 を満たす）に対して、これらの点の凸結合と呼ばれる点 λ₁u₁ + λ₂u₂ + ... + λᵣuᵣ も必ず C に含まれます。これは定義を複数の点に拡張した性質です。

集合演算との関係

空集合および空間全体の集合は、常に凸集合です。
複数の凸集合の共通部分（交叉）は、必ず凸集合になります。この性質は非常に重要で、多くの場面で利用されます。
包含関係によって順序付けられた凸集合の列があったとき、その合併も凸集合になります。しかし、一般に任意の2つの凸集合の合併は凸集合であるとは限りません（例：離れた2つの円盤の合併）。

閉凸集合

閉凸集合は、その境界や極限点を含む凸集合です。閉凸集合は、空間を「半分に分ける」性質を持つ閉半空間（超平面によって分けられた空間の片側部分）たちの共通部分として特徴付けられることが知られています。これは、閉凸集合とその外部の点を分離するような閉半空間が存在するという支持超平面定理に基づいています。この定理は、函数解析学のハーン・バナッハの定理の特殊な場合と見なすことができます。

凸包とミンコフスキー和

凸包 (convex hull) とは、与えられた集合 A を含む最小の凸集合のことです。これは、A を含む全ての凸集合の共通部分として定義されます。凸包を作る操作を Conv(A) と書くと、これは集合包含に関して単調で冪等な作用素となります。また、凸集合全体の集まりは、凸包作用素によって束（そく）構造を持ちます。

ミンコフスキー和 (Minkowski sum) とは、ベクトル空間における2つの集合 S₁ と S₂ に対して、S₁ の任意の元と S₂ の任意の元の和として得られる全ての点からなる集合 S₁ + S₂ = {x₁ + x₂ : x₁ ∈ S₁, x₂ ∈ S₂} のことを言います。これは複数の集合に対しても同様に定義できます。ミンコフスキー和において、零ベクトルのみからなる集合 {0} は単位元の役割を果たします。

興味深い性質として、集合のミンコフスキー和の凸包は、それぞれの集合の凸包を取ってからミンコフスキー和を取ったものに等しい、という関係があります。すなわち、Conv(S₁ + S₂) = Conv(S₁) + Conv(S₂) が成り立ちます。これは、ミンコフスキー和と凸包を取る操作が「可換」であるということを示しています。

凸性の一般化

ユークリッド空間における凸性の定義は、様々な方法で他の空間や概念へ拡張・一般化されています。

星状凸 (star-convex): 集合内のある特定の点が存在し、その点から集合内の任意の点への線分が集合内に含まれる性質です。凸集合は必ず星状凸ですが、逆は成り立ちません（例：星形）。
直交凸 (orthogonally convex): ユークリッド空間において、座標軸に平行な任意の線分が集合内に含まれる性質です。
測地的凸 (geodesically convex): 非ユークリッド幾何学などにおいて、2点を結ぶ最短経路（測地線）が集合内に含まれる性質です。
順序凸 (order convex): 順序位相を持つ空間において、全順序を利用して定義される凸性です。

さらに抽象的には、特定の公理を満たす部分集合族を「凸集合」と定義し、凸型空間 (convexity space) という概念を考えることもあります。

凸集合とその関連概念は、現代数学の多くの分野で中心的な役割を果たしています。

もう一度検索