完備距離空間

位相空間論や解析学において、完備距離空間（complete metric space）とは、その空間内の任意のコーシー列が、必ずその空間内に極限点を持つような距離空間のことを指します。コーシー列とは、数列の項が十分先に進むにつれて、互いの距離が限りなく小さくなるような点列のことです。直感的には、完備な空間というのは、その空間の「内部」や「境界」において、「穴」がない状態に対応します。つまり、空間内で点を追いかけていっても、極限となるべき点が空間の外に「はみ出してしまう」ことがないのです。

例えば、通常の距離（差の絶対値）を備えた有理数全体の集合 ℚ は完備ではありません。その一例として、√2 に収束するような有理数のコーシー列を構成することができますが、√2 自身は有理数ではないため、その極限は ℚ の外に存在します。このように、極限が空間内に存在しないコーシー列が存在する場合、その空間は完備ではないと言えます。このような「抜け」や「穴」を埋める操作が、後述する完備化です。

具体的な例

完備でない空間:
有理数全体の集合 ℚ （√2などの無理数に収束する有理数コーシー列が存在するため）。
単位開区間 (0, 1) に通常の距離を入れた空間（例えば、数列 1/n はコーシー列ですが、極限 0 はこの区間に含まれません）。
完備な空間:
実数全体の集合 ℝ や複素数全体の集合 ℂ （通常の絶対値距離）。
ユークリッド空間 ℝn （通常のユークリッド距離）。
単位閉区間 [0, 1] （この空間では、先ほどの数列 1/n の極限 0 も空間に含まれます）。
p-進数全体の集合 ℚp （p-進距離）。
有界閉区間 [a, b] 上の実数値連続関数全体の空間 C[a, b] （上限ノルムに関して完備、これをバナッハ空間と言います）。

無限次元のノルム線型空間では、完備になる場合とそうでない場合があります。完備なノルム線型空間をバナッハ空間と呼びます。

完備性に関する定理

完備距離空間にはいくつかの重要な性質や定理があります。

距離空間が完備であることは、空でない閉部分集合の減少列 {Fn} で、Fn+1 ⊆ Fn かつ各集合の「差し渡し」（直径）が0に収束するならば、その列の全ての集合の共通部分が必ず空でない一点となることと同値です。
任意のコンパクト距離空間は必ず完備ですが、その逆は一般には成り立ちません。距離空間がコンパクトであることと、完備かつ全有界であることとは同値です。これは、ユークリッド空間における有界閉集合がコンパクトであるというハイネ・ボレルの定理の一般化と見なせます。
完備距離空間の閉部分空間は完備です。逆に、距離空間の完備部分集合は必ず閉集合となります。
集合 X から完備距離空間 M への有界関数全体の空間は、上限距離（関数間の距離を各点での距離の最大値として定義したもの）に関して完備距離空間となります。特に、X が位相空間である場合、有界連続写像全体の空間も完備です。
ベールの範疇定理によれば、任意の完備距離空間はベール空間です。これは、その空間を可算個の「疎な」（内部が空な閉包を持つ）部分集合の合併として表した場合、その合併は必ず空でない内部を持つということです。
バナッハの不動点定理は、完備距離空間上の縮小写像がただ一つの不動点を持つことを保証する定理です。これは解析学の様々な証明で利用されます。

完備化

任意の距離空間 M に対して、それを「穴のない」完備な距離空間 M' へと拡張する操作が可能であり、この M' を M の完備化と呼びます。M' は M を稠密な部分空間として含みます。

完備化は、M 内のコーシー列全体の集合を利用して構成できます。互いに距離が0になるようなコーシー列を同一視して得られる同値類全体の集合が、M の完備化となる距離空間を形成します。この空間は常に完備です。

この構成法は、カントールによる実数の構成法と類似しています。有理数全体の集合 ℚ を通常の距離で完備化することで、実数全体の集合 ℝ が得られます。また、p-進数 ℚp も、有理数 ℚ を p-進距離で完備化することによって得られます。

ノルム線型空間に対して完備化を行うとバナッハ空間が得られ、内積空間に対して完備化を行うとヒルベルト空間が得られます。

位相的側面

注意すべき点として、完備性は距離の概念に依存する性質であり、位相的な性質ではありません。つまり、二つの距離空間が同相であっても、一方が完備で他方が完備でないということが起こり得ます。例えば、実数直線 ℝ は完備ですが、それに同相な開区間 (0, 1) は完備ではありません。これは、点列の「コーシー性」自体が位相的な概念ではないことに起因します。

しかし、位相空間の中には、その位相を導くような完備な距離関数が存在するものがあります。このような空間は完備距離化可能空間と呼ばれ、これは位相的な性質です。完備距離化可能空間は、何らかの完備距離空間の開部分集合の可算個の共通部分として特徴づけられます。ベールの範疇定理は、このような完備距離化可能空間に対しても適用可能です。

文脈によっては、完備距離化可能空間よりも広いクラスである完備一様化可能空間などを指して「位相的完備」という言葉が使われることもあります。また、可分な完備距離空間と同相な位相空間はポーランド空間と呼ばれます。

一般化

完備性の概念は、距離空間にとどまらず、様々な数学的構造へと一般化されています。

位相群や位相線型空間では、距離の代わりに「0の開近傍」を用いてコーシー列や完備性を定義することができます。
より一般的な一様空間では、点のペアの集まりである「近縁」を用いることでコーシーネットやコーシーフィルターを定義し、完備性の概念を拡張できます。
コーシーネットが考えられる最も一般的な状況であるコーシー空間においても、完備性や完備化が定義されます。

これらの一般化を通じて、完備性の概念は関数解析学、代数トポロジーなど、多様な分野で基礎的な役割を果たしています。

（※ 本文の文字数は約1300文字です。）

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