代替集合論

代替集合論

代替集合論（だいたいしゅうごうろん）は、数学の基礎論において、集合という概念に対する様々なアプローチを総称する言葉です。特に、現代数学の事実上の標準的な基盤となっているツェルメロ＝フレンケル集合論（ZF）とは異なる独自の公理や枠組みを採用した集合論を指します。これは、数学の基礎を異なる視点から問い直し、あるいは特定の数学的分野に適した理論体系を構築しようとする試みとして位置づけられます。

ペトル・ヴォピェンカの代替集合論（AST）

代替集合論という言葉は、より狭い意味で、特定の数学理論である「Alternative Set Theory」の頭文字をとったASTを指すこともあります。これは、チェコの数学者ペトル・ヴォピェンカ氏と彼の研究グループによって、1970年代から1980年代にかけて詳細に発展させられた体系です。ヴォピェンカ氏のASTは、既存の数学理論に対する哲学的な問いかけと、具体的な数学的構造の探求が結びついたユニークなものです。

ASTは、半集合論という概念を基礎としていますが、それに留まらず、独自の重要な変更が加えられています。その最も特徴的な点の一つは、「形式的な有限性」という考え方です。ASTの中では、全ての集合が形式的に有限であると見なされます。これは、AST内の集合が、数学的帰納法と呼ばれる論証手法を用いて性質を証明できるような構造を持っていることを意味します。

より技術的に述べれば、ASTの公理系の中で集合に関する部分を取り出すと、それは標準的な集合論であるZFにおいて無限公理（無限に多くの元を持つ集合の存在を保証する公理）を否定したものに等価な性質を持つと言えます。つまり、ASTは無限集合の存在を直接的には仮定しない構造を持っています。

しかしながら、ASTでは、これらの形式的に有限な集合の中に、標準的な集合論で考えられるような通常の「集合」ではないような要素や部分的な集まり（これを半集合と呼ぶことがあります）を含むものが存在することを許容します。これらの集合は、標準的な集合論（ZF）における有限集合の概念とは性質が異なるため、ASTの中では「無限集合」として扱われます。これは、ASTにおける「無限」が、ZFにおける無限とは異なる意味合いを持っていることを示しており、ASTの独自の集合観を表しています。

このように、ヴォピェンカ氏のASTは、全ての集合を形式的に有限と見なす一方で、内部に無限的な構造（半集合を含む集合）を持ち込むことで、既存の集合論とは異なる形で無限を扱おうとした革新的な体系と言えます。

その他の代替集合論

数学の歴史や発展の中で、代替集合論と呼ばれる体系はASTだけではありません。ZFとは異なる公理系を採用したり、集合の概念そのものを異なって定義したりする様々な理論が提案されてきました。代表的なものとしては、以下のような体系が挙げられます。

フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG)
モース・ケリー集合論 (MK)
タルスキ・グローセンディーク集合論
アッカーマン集合論
型理論
新基礎集合論 (NF)
肯定的集合論 (ASTe)
内部集合論
素朴集合論
S（集合論）
クリプケ・プラテック集合論 (KP)
スコット・ポッター集合論
* 構成的集合論

これらの体系は、それぞれ異なる目的や哲学に基づいて構築されており、数学基礎論における集合概念の多様な探求の歴史を示しています。

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