素朴集合論

素朴集合論とは

素朴集合論は、数学における集合論の一分野で、形式的な公理を用いずに、自然言語によって集合を定義・操作する理論です。形式論理を用いる公理的集合論とは異なり、より直感的で、集合の基本的な概念を理解するのに適しています。離散数学でよく用いられるベン図やブール代数などの記号操作を扱うため、現代数学の集合論を日常的に扱う上で十分な理論です。

現代数学では、数、関係、関数といったほとんどの数学的対象を集合の観点から定義するため、集合は非常に重要な概念です。素朴集合論は、その入門として、また、より形式的な扱いへの橋渡しとしても有効です。

素朴なアプローチ

素朴集合論は、自然言語を用いて集合とその操作を記述します。論理記号（かつ、または、ならば、でない、存在する、すべての）は通常の数学と同様に扱われます。この直感的なアプローチは、集合論自体のより形式的な設定を含め、高度な数学でも利用されます。

集合論は、19世紀末にゲオルク・カントールによって無限集合の研究の一環として発展しました。ゴットロープ・フレーゲも著書でこの理論を拡張しました。

しかし、素朴集合論にはいくつか異なる解釈が存在します。

公理的集合論の非形式的な表現
カントールの初期および後期理論
ラッセルのパラドックスを引き起こしたフレーゲの理論や、ペアノとデーデキントの理論

これらの理論は、矛盾を含むものもあります。

パラドックス

素朴集合論では、任意の性質を使って集合を自由に構築できると仮定すると、パラドックスが生じます。その典型例がラッセルのパラドックスです。「自分自身を含まない集合の集合」は存在しないという矛盾を示しています。このため、素朴集合論を無矛盾にするためには、集合を構成する原理に制限を加える必要があります。

カントールの集合論は、パラドックスとは無関係であるという見解もありますが、カントール自身が理論の公理化を行わなかったため、判断が難しい点があります。彼は自身の理論にパラドックス（カントールのパラドックスやブラリ＝フォルティのパラドックスなど）があることを認識していましたが、理論の評価を下げるものとは考えていませんでした。フレーゲは、素朴集合論を形式化した理論を公理化しましたが、ラッセルがパラドックスを提示した際に問題になったのは、必ずしもカントールの理論ではありませんでした。

公理的理論

公理的集合論は、集合を理解するための初期の試みを受けて、どの操作が許されるかを正確に定義することを目的に開発されました。

無矛盾性

素朴集合論は、対象となる集合を正しく指定すれば、必ずしも矛盾を生じるわけではありません。これは、定義によって行うことができます。ハルモスの「Naive Set Theory」のように、すべての公理を明示的に述べることができますが、これは通常の公理的ツェルメロ＝フレンケル集合論の非形式的な表現となります。素朴集合論は、言語や表記法が通常の非形式的な数学のものであり、公理系の無矛盾性や完全性を扱っていないという点で「素朴」です。

公理的集合論も必ずしも矛盾がないわけではありません。ゲーデルの不完全性定理により、十分に複雑な一階述語論理システムは、無矛盾であっても、その無矛盾性を理論内部で証明することはできません。しかし、一般的な公理系は、ラッセルのパラドックスなどの矛盾を排除するため、一般的に無矛盾だと考えられています。

素朴集合論という用語は、現代の公理的集合論の非形式的版ではなく、フレーゲとカントールが研究した集合論を指す場合もあります。

利用

公理的アプローチと他のアプローチのどちらを選ぶかは、利便性の問題です。日常の数学では、公理的集合論を非形式的に使用するのが最善かもしれません。特定の公理への言及は、必要になったときのみ行われます。形式的な証明は、特別な場合にのみ必要となります。このような非形式的な公理的集合論の扱いは、素朴集合論の見た目そのものになります。

非形式的なアプローチは、読み書きが比較的簡単で、形式的なアプローチよりも誤りが起こりにくいという利点があります。

集合、帰属関係、同一性

素朴集合論では、集合は明確に定義された対象の集まりとして記述されます。これらの対象は、集合の要素または元と呼ばれます。要素は、数、人、他の集合など、何でも構いません。例えば、4は偶数の整数の集合の要素です。集合は有限である必要はありません。

集合の定義は、カントールの言葉を借りると、「集合とは、要素と呼ばれる、知覚または思考の明確な対象を全体としてまとめたものである」となります。

集合がどのように形成されるか、および集合に対する操作が再び集合を生成するかは、この定義だけでは明確ではありません。「明確に定義された対象の集まり」という用語は、集合を構成するものと構成しないものの無矛盾性を保証するものではありません。そのため、公理的集合論が必要になります。

この文脈では、非公式に定式化された集合論には様々な形式化が可能であることに注意が必要です。例えば、カントールの定義では、集合の構成が比較的自由ですが、カントールは数学的な対象にのみ関心があったと考えられます。集合のクラスを修正する場合でも、パラドックスを回避するためのルールは必ずしも明確ではありません。

「明確に定義された」という用語は、無矛盾性を確保するための暗黙的または明示的なルール（公理や定義）を用いるという意図として解釈されるべきです。これは、無矛盾性の問題をより単純なコンテキストから切り離すためです。ゲーデルの第二不完全性定理により、すべての矛盾の明示的な排除は、公理的集合論でも達成できません。しかし、これは素朴集合論の有用性を妨げるものではなく、議論を単純化するだけです。

帰属関係については、xが集合Aの要素である場合、xはAに属すると言い、x∈Aと表記します。記号∈はギリシャ文字のイプシロンに由来します。

集合の同一性については、2つの集合AとBが、全く同じ要素を持つ場合、AとBは等しいと定義します。したがって、集合は要素によって完全に定まります。例えば、要素2,3,5の集合は、6未満のすべての素数の集合と同じです。

空集合は、要素を全く持たない特別な集合で、通常はØで表されます。空集合は一つしか存在せず、他の集合の要素になることもあります。例えば、Øと{Ø}は異なる集合です。

集合は、その要素を列挙する方法や、条件を満たす要素を記述する方法で定義できます。

部分集合とは、集合Aのすべての要素が集合Bの要素でもある場合、AはBの部分集合であると言います。集合Aのすべての部分集合からなる集合はべき集合と呼ばれます。

普遍集合とは、特定の状況において、考えているすべての集合を含む集合のことです。集合Aの補集合とは、普遍集合に含まれるが、Aに含まれない要素の集合のことです。

和集合は、AまたはBに含まれるすべての要素の集合、共通部分はAとBの両方に含まれる要素の集合、差集合はAには含まれるがBには含まれない要素の集合です。

順序対は、2つの要素を区別して並べたもので、通常(a,b)で表されます。デカルト積は、2つの集合A,Bに対して、Aの要素とBの要素を組み合わせた順序対の集合です。

初期集合論におけるパラドックス

初期の集合論には、無制限の内包公理と呼ばれる、集合を自由に構成できる原理がありましたが、これはパラドックスを引き起こす原因となりました。

ブラリ＝フォルティのパラドックス
カントールのパラドックス
カントールの第二の二律背反
ラッセルのパラドックス

これらのパラドックスは、無制限の内包公理をより制限的な分出公理に置き換えることで解消できます。分出公理とは、「任意の集合Xに対し、性質Pを満たすXの要素からなる集合Yが存在する」というものです。

この定理から、全集合の集合は存在しないことが導けます。これは、「宇宙は存在しない」という壮大な結論につながります。

集合の構成に関連するもう一つの問題は、カリーのパラドックスです。これは、無制限の内包公理が矛盾を引き起こす例を示しています。

正則性公理を導入することで、x∈xのような自己言及的な集合の可能性を排除することができます。ただし、集合論を展開するためには、分出公理だけでは不十分であり、他の公理も必要となります。

集合論の公理を自由に組み合わせると、矛盾が生じる可能性があります。例えば、ZFCの選択公理は、「実数のすべての集合はルベーグ可測である」という命題とは矛盾します。

関連項目

集合の代数学
公理的集合論
内部集合論
集合の同一性と関係のリスト
集合論
集合
半順序集合

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