代用電荷法

代用電荷法（電荷重畳法）とは

代用電荷法（英: charge simulation method）は、数値解析における手法の一つで、基本解近似解法（英: method of fundamental solutions）とも呼ばれます。主に構造力学や電界計算の分野で活用されており、偏微分方程式を解くためのメッシュフリー法として知られています。この手法では、有限個の基本解を境界条件に合わせて重ね合わせることで、近似解を構成します。

代用電荷法の原理

代用電荷法の基本的な考え方は、解を既知の基本解の線形結合で近似することです。例えば、2次元ラプラス方程式におけるディリクレ境界条件の問題を解く場合、解は以下のように近似されます。

math
{\displaystyle u({\boldsymbol {x}})\approx u_{N}({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{N}Q_{i}G({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {s}}_{i})}

ここで、`G(x, s)`は基本解（例えば、2次元ラプラス方程式の場合は対数ポテンシャル）を表し、`s_i`は電荷点と呼ばれ、計算領域の外に配置されます。`Q_i`は各基本解に対する係数で、選点法により決定されます。具体的には、境界上に選んだ拘束点において、近似解が境界条件を満たすように`Q_i`を決定します。

代用電荷法のメリットとデメリット

代用電荷法の大きな利点として、以下の点が挙げられます。

原理が簡単: 基本解を重ね合わせるというシンプルな考え方に基づいているため、理解しやすいです。
プログラムが容易: 実装が比較的容易であり、複雑な計算を必要としません。
高速かつ高精度: 適切な設定を行えば、高速かつ高精度な解を得ることができます。
誤差評価が容易: 誤差が境界で最大になる性質があるため、誤差の評価が容易です。

一方で、代用電荷法には以下のような制約もあります。

非線形問題への適用が困難: 基本的に線形問題を対象としており、非線形問題には適用できません。

代用電荷法の歴史

代用電荷法は、1969年に西ドイツのSteinbiglerによって高電圧工学の問題に応用されたのが始まりです。その後、日本において、宅間董氏によって様々な電界計算に応用され、村島定行氏によって汎用的な解析手法として確立されました。

代用電荷法の誤差評価

代用電荷法の誤差評価に関する重要な特徴として、境界における誤差が内部の誤差を評価する上で役立つという点があります。特に、問題の解`u(x)`が閉包`cl(Ω)`で連続な場合、調和関数の最大値原理により以下の関係が成り立ちます。

math
{\displaystyle \max _{{\boldsymbol {x}}\in \operatorname {cl} (\Omega )}\left|u({\boldsymbol {x}})-u_{N}({\boldsymbol {x}})\right|=\max _{{\boldsymbol {x}}\in \partial \Omega }\left|f({\boldsymbol {x}})-u_{N}({\boldsymbol {x}})\right|}

この式は、領域内部での解の誤差は境界での誤差によって評価できることを示しています。

代用電荷法の変種

室田の不変スキーム

室田の不変スキームは、通常の代用電荷法に改良を加えたものです。このスキームでは、近似解に定数項`Q_0`を加え、さらに以下の拘束条件を追加します。

math
{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}Q_{i}=0}

このスキームの最大の特徴は、ラプラス方程式の解が持つ不変性（座標系のスケール変換や境界条件の平行移動に対して解が変わらない性質）を、近似解が満たす点にあります。通常の代用電荷法ではこの不変性が満たされませんが、室田の不変スキームではこれを実現しています。

まとめ

代用電荷法は、そのシンプルさと効率性から、多くの分野で利用されている強力な数値解析ツールです。特に、境界値問題に対して有効であり、誤差評価の容易さも魅力の一つです。非線形問題への適用には制約がありますが、線形問題においては優れた性能を発揮します。また、室田の不変スキームのように、さらなる改良も進められています。

参考文献

村島定行、加藤三三男、宮近詠史「代用電荷法における誤差の性質について」『電気学会論文誌A』第98巻第1号、電気学会、1978年、39-46頁
村島定行『代用電荷法とその応用 : 境界値問題の半解析的近似解法』森北出版、1983年
室田一雄「代用電荷法におけるスキームの「不変性」について」『情報処理学会論文誌』第34巻第3号、情報処理学会、1993年、533-535頁
杉原正顕「調和関数の近似について」『数理解析研究所講究録』第676巻、京都大学数理解析研究所、1988年、251-261頁
西田詩「2次元楕円領域における代用電荷法の数学的及び数値的考察」『日本応用数理学会論文誌』第5巻第3号、日本応用数理学会、1995年、185-198頁
天野要「代用電荷法による放射スリット領域への数値等角写像の方法」『日本応用数理学会論文誌』第5巻第3号、日本応用数理学会、1995年、267-280頁
井上哲男「代用電荷法における逆等角写像のポテンシャル論的スキーム(ポテンシャル論とその関連分野)」『数理解析研究所講究録』第1016巻、京都大学数理解析研究所、1997年11月、68-76頁
岡野大, 緒方秀教, 天野要, 井上哲男「代用電荷法による実関数の近似」『情報処理学会論文誌』第39巻第12号、情報処理学会、1998年12月、3337-3340頁
岡野大, 杉原正顯, 天野要「3次元代用電荷法の誤差の収束について : 球面の場合(数値シミュレーションを支える応用数理)」『数理解析研究所講究録』第1573巻、京都大学数理解析研究所、2007年11月、1-12頁
榊原航也, 矢崎成俊「代用電荷法によるHele-Shaw問題の数値計算 (新時代の科学技術を牽引する数値解析学)」『数理解析研究所講究録』第1957巻、京都大学数理解析研究所、2015年7月、116-133頁
神谷紀生, 北栄輔『トレフツ法入門』コロナ社、2000年

外部リンク

代用電荷法（基本解近似解法）Charge Simulation Method (Method of Fundamental Solutions)
代用電荷法と双極子法の理論的・実験的研究
* 代用電荷法と数値等角写像に関する研究

もう一度検索

代用電荷法