メッシュフリー法

メッシュフリー法とは

メッシュフリー法（Meshfree method）は、偏微分方程式（PDE）の境界値問題を、従来の有限要素法（FEM）のように要素分割（メッシュ）に依存せず、離散化近似によって解く数学的アプローチの総称です。この手法は、特に複雑な形状や大変形、亀裂の伝播などの解析において、メッシュ生成に伴う問題を回避できるため、注目されています。

歴史と概要

メッシュフリー法の発展は、積分形式（弱形式）を用いた有限要素法の延長線上に位置づけられます。その起源は、移動最小二乗法（MLS）を形状関数作成に応用した仏研究者による拡散要素法（DEM: Diffused Element Method）に遡ります。DEMでは、形状関数計算に必要なモーメント逆行列を、近似的に計算することで効率化を図りました。その後、モーメント逆行列を厳密に計算し、変位境界条件の設定にラグランジュの未定乗数法を用いた要素フリーガラーキン法（EFG: Element Free Galerkin）が、米国の研究者によって提案されました。

従来の有限要素法（FEM）では、対象領域を微小な要素（メッシュ）に分割し、弱形式の重み付き残差法であるガラーキン法などを用いて解を求めます。一方、メッシュフリー法では要素分割を行わず、節点（Node）を配置し、同様に弱形式のガラーキン法で解く方法と、微分形式（強形式）を直接解く節点法（collocation）があります。

FEMとの違い

EFGやRKPM（Reproducing Kernel Particle Method）などのメッシュフリー法における形状関数は、大域的な近似を行います。これは、局所的な近似を用いるFEMとは対照的です。メッシュフリー法では、「サポートサイズ（support size）」や「影響領域（domain of influence）」といった、周囲の節点を検索する範囲を指定するパラメータが存在します。これらのパラメータが小さい場合には局所的な近似となり、大きい場合には全体としてなだらかな近似となります。ただし、過度に大きくすると精度が低下する場合があります。

数学的には、弱形式を用いる点ではFEMと共通していますが、形状関数の作成法が異なります。また、積分を行うために、バックグラウンドセルと呼ばれるガウス積分用のセルが必要になる場合があります。しかし、節点積分を用いることで、バックグラウンドセルを不要とする方法も提案されており、より真のメッシュフリー法へと進化しています。一方、節点法（collocation法）は、積分が不要で効率的ですが、得られる解の精度が低いという課題があります。

主なメッシュフリー法

弱形式（積分方程式を解く）

拡散要素法（DEM: Diffuse Element Method）
要素フリーガラーキン法（EFG: Element Free Galerkin）
再生核粒子法（RKPM: Reproducing Kernel Particle Method）
自然要素法（NEM: Natural Element Method）

強形式（微分方程式を解く）

節点法（Collocation Method: Radial Basis, Polynomial, etc.）
平滑化粒子法（SPH: Smoothed Particle Hydrodynamics）

メリットとデメリット

メリット（主に弱形式）

要素分割が不要なため、プリプロセス時間を短縮でき、複雑な形状にも対応可能。
亀裂伝播や大変形など、メッシュが解析に影響を与える問題を扱える。
C1補間が容易であり、板やシェル解析に適している。重み関数（weight/kernel/window function）と同じ連続性で補間が可能。
エンリッチ関数の挿入が容易。
節点数を増加させた際の解の収束がFEMよりも早い。

デメリット（主に弱形式）

要素単位の積分ができないため、形状関数（trial function）が有理関数となり、ガウス積分において多くの評価点が必要となる。節点積分（SCNIなど）により効率化は進んだが、各節点で形状関数が異なるため複数回の積分が必要となる。
形状関数作成時に、周辺の節点を検索する必要があるため、計算時間が長くなる場合がある。特に、逐次的に周囲の節点を検索するメッシュフリー法では、要素連結情報を最初に作成するFEMよりも、必ずしも計算時間が短くなるとは限らない。
変位境界条件の適用がFEMのように容易ではなく、ラグランジュの未定乗数法やペナルティ法などが必要になる。
節点値をFEMのように厳密には満たさず、最小二乗法のように平均的に満たす近似解となる。そのため、FEMのようにクロネッカーのデルタプロパティを持たないため、係数行列が節点変位と一致しない。

今後の応用

メッシュフリー法は、大変形問題、破砕問題、複雑形状問題、亀裂などの不連続問題、応力特異性など、メッシュによる解析制限を受けない分野への応用が期待されています。FEMに代わる理論として期待されましたが、実際には、上記のような問題点からFEMを完全に置き換えるまでには至っていません。しかし、FEMが苦手とする、メッシュに起因する不具合が生じる現象を解析する方法として、限定的に発展していくと考えられます。

関連文献

日本計算工学会(編)、鈴木克幸、長嶋利夫、萩原世也：「メッシュフリー解析法」、丸善出版、ISBN 978-4-621-07259-2（2006年10月）

関連項目

* 有限被覆法 (FCM)

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