境界要素法

境界要素法（BEM）とは

境界要素法（Boundary Element Method、BEM）は、汎用性の高い離散化解析手法の一つです。有限差分法、有限体積法、有限要素法と並び、主要な数値解析手法として理工学分野で広く受け入れられています。この手法は、応用数学における積分方程式の研究を基盤としており、境界積分方程式法（Boundary Integral Equation Method、BIEM）とも呼ばれます。特に電磁気学の分野では、境界要素法を用いた電磁界解析はモーメント法（Method of Moments、MOM）として知られています。

解法の基本的な考え方

境界要素法は、以下の2つの段階を経て構成されます。

1. 境界積分方程式の定式化: 対象とする問題の支配方程式（微分方程式）から境界積分方程式を導き出します。この定式化には直接法と間接法の2種類がありますが、今日では直接法が主流です。
2. 離散化: 定式化された境界積分方程式を離散化し、数値的に解を求めます。

境界積分方程式の定式化

ここでは、2次元ラプラス問題を例に、直接法による境界積分方程式の導出方法を説明します。

例：2次元ラプラス問題

ラプラス問題は、以下の支配方程式と境界条件を満たすポテンシャル u を求める問題です。

支配方程式:

∇²u = ∂²u/∂x₁² (x) + ∂²u/∂x₂² (x) = 0, (x ∈ Ω)

境界条件:

u(x) = ū(x), (x on Γᵤ)
q(x) = ∂u/∂n (x) = q̄(x), (x on Γq)

ここで、Ωは領域、Γは境界であり、境界Γはポテンシャル u が規定されている境界Γᵤとフラックス q = ∂u/∂n が規定されている境界Γqから構成されます。n は境界での外向き法線方向を示します。

支配方程式と関数 u を掛け合わせて領域積分を行うと、以下の恒等式が得られます。

∫Ω [∂²u/∂x₁² (x) + ∂²u/∂x₂² (x)] u* (x) dΩ = 0

この恒等式を2回部分積分すると、q* = ∂u* /∂n として、

∫Γ q(x) u* (x) dΓₓ - ∫Γ u(x) q* (x) dΓₓ + ∫Ω u(x) [∂²u* /∂x₁² (x) + ∂²u* /∂x₂² (x)] dΩₓ = 0

が得られます。ここで、関数 u* は、以下の式を満たすように与えられます。

∂²u* /∂x₁² (x; ξ) + ∂²u* /∂x₂² (x; ξ) + δ(x - ξ) = 0

この関数 u* は基本解と呼ばれ、ラプラス問題では以下のようになります。

u* (x; ξ) = - (1/2π) ln r, where r = |x - ξ|

ここで、ξはソース点、xは観測点です。この基本解を用いると、境界上のポテンシャルとフラックスの分布が得られている時に、領域内部の点xにおけるポテンシャル値を計算できます。

観測点ξを領域内部から境界上に移動させると、以下の境界積分方程式が得られます。

c(ξ)u(ξ) + ∫Γ q*(x; ξ)u(x)dΓₓ - ∫Γ u*(x; ξ)q(x)dΓₓ = 0

ここで、c(ξ)は境界形状から決まる定数です。この式が境界要素法の出発点となる重要な方程式です。

境界積分方程式の離散化

境界要素法では、上記の境界積分方程式を離散化して近似解を求めます。離散化においては、以下の要素が必要です。

1. 境界上の未知量の近似: ポテンシャル u とフラックス q を補間関数を用いて近似します。
u(x) ≈ ũ(x) = Σj=1ᴺ φⱼ(x)Uⱼ
q(x) ≈ q̃(x) = Σj=1ᴺ φⱼ(x)Qⱼ

2. 残差方程式の取り扱い: 近似関数を代入して得られる残差方程式を処理します。
3. 境界形状の近似: 境界を要素で近似します。
4. 境界上の積分計算: 境界上の積分を計算します。

残差方程式の処理と代数方程式の導出

近似関数を境界積分方程式に代入すると、残差方程式 R(ξ) ≠ 0が得られます。この残差に対して、以下のいずれかの条件を課し、N個の方程式を導出します。

選点法: 境界上にN個の代表点ξᵢを置き、各点でR(ξᵢ) = 0を求める。
ガラーキン法: N個の補間関数φᵢと残差方程式との境界積分を考え、各々を0とする。

境界要素法では一般的に選点法が用いられ、以下の代数方程式を得ます。

Σj=1ᴺ [c(ξᵢ)φⱼ(ξᵢ) + ∫Γ q*(x; ξᵢ)φⱼ(x)dΓₓ]Uⱼ - Σj=1ᴺ [∫Γ u*(x; ξᵢ)φⱼ(x)dΓₓ]Qⱼ = 0

ここで、

Gᵢⱼ = ∫Γ u(x; ξᵢ)φⱼ(x)dΓ
Hᵢⱼ = c(ξᵢ)φⱼ(ξᵢ) + ∫Γ q(x; ξᵢ)φⱼ(x)dΓₓ

とすると、以下の代数方程式が得られます。

Σj=1ᴺ HᵢⱼUⱼ = Σj=1ᴺ GᵢⱼQⱼ, (i=1,2,…,N)

この方程式を解くことで、境界上のポテンシャルとフラックスが近似的に得られます。

基本解

主要な境界値問題における基本解は以下の通りです。

ラプラス問題:

u(x; ξ) = - (1/2π) ln r (2次元)
u(x; ξ) = 1/(4πr) (3次元)

静弾性問題(等方均質、ケルビン解):

uᵢⱼ (x; ξ) = - [1/(8π(1-ν)G)] [(3-4ν)lnrδᵢⱼ - (∂r/∂xᵢ)(∂r/∂xⱼ)] (2次元)
uᵢⱼ (x; ξ) = [1/(16π(1-ν)Gr)] [(3-4ν)δᵢⱼ + (∂r/∂xᵢ)(∂r/∂xⱼ)] (3次元)

解法の特徴、利点と欠点

特徴と利点:

境界上の離散化のみ: 領域内部の離散化が不要なため、要素数が少なくて済みます。特に、静的問題、定常問題では、基本解が解析的に求まる場合に有効です。
問題規模の縮小: 離散化で得られる代数方程式の規模が小さくなります。
開領域問題への対応: 無限領域を含む問題でもそのまま取り扱えます。

欠点:

係数行列が密行列: 連立方程式の係数行列が密なため、計算負荷が大きくなる場合があります。

得意とする問題

波動伝播問題: 開領域における波動伝播問題を精度良く解析できます。地盤振動解析、地震波伝播解析、音響解析、電磁場解析などに用いられます。
形状最適化問題: 境界上の離散化のみで形状最適化計算が可能です。

関連情報

数値解析
CAE
有限要素法
* 代用電荷法

参考文献

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